人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试导学案，共6页。学案主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知直线l经过两点O(0,0)，A(1，eq \r(3))，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是( )
A．－eq \r(3) B．－eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
答案 A
解析 依题意，得kOA＝eq \f(\r(3)－0,1－0)＝eq \r(3)，
所以直线l的倾斜角为eq \f(π,3)，
所以直线m的倾斜角为eq \f(2π,3)，
所以直线m的斜率为tan eq \f(2π,3)＝－eq \r(3).
2．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是( )
A．相交 B．内切
C．外切 D．外离
答案 D
解析 将两圆方程分别化为标准方程得到圆C1：(x－m)2＋y2＝4 ；圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9 ，
则圆心C1(m，0)，C2(－1，m) ，半径r1＝2，r2＝3 ，两圆的圆心距|C1C2|＝eq \r(m＋12＋m2)＝eq \r(2m2＋2m＋1)>eq \r(2×32＋2×3＋1)＝5＝2＋3 ，
则圆心距大于半径之和，故两圆外离．
3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
答案 C
解析 圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C为(－1,0)，而直线与x＋y＝0垂直，所以待求直线的斜率为1，设待求直线的方程为y＝x＋b，将点C的坐标代入可得b的值为1，直线的方程为x－y＋1＝0.
4．若圆心在x轴上，半径为eq \r(5)的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )
A．(x－eq \r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq \r(5))2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
答案 D
解析 设圆心O(a，0)(a<0)，
则eq \r(5)＝eq \f(|a|,\r(1＋22))，
∴|a|＝5.∴a＝－5.
∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
5．将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0,2)与点B(4,0)重合，若此时点C(7,3)与点D(m，n)也重合，则m＋n的值为( )
A.eq \f(34,5) B.eq \f(33,5)
C.eq \f(32,5) D.eq \f(31,5)
答案 A
解析 根据题意，设点A与点B关于直线l对称，
则点C与点D也关于直线l对称．易知kAB＝－eq \f(1,2)，
所以直线l的斜率为2，
又易知AB的中点坐标为(2,1)，
则直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3，
因为CD的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7＋m,2)，\f(3＋n,2)))在直线l上，且kCD＝－eq \f(1,2)，
所以可列方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，,\f(3＋n,2)＝7＋m－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))
所以m＋n＝eq \f(34,5).
6．点P在直线2x＋y＋10＝0上，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为( )
A．24 B．16 C．8 D．4
答案 C
解析 因为切线长PA，PB的长度相等，
所以四边形PAOB的面积为△APO面积的2倍．
因为PA⊥AO，
所以要求四边形PAOB面积的最小值，应先求|PA|的最小值．
当|OP|取最小值时，|PA|取最小值．
|OP|的最小值为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离d＝eq \f(|0＋0＋10|,\r(22＋1))＝2eq \r(5)，
因为圆x2＋y2＝4的圆心坐标为O(0,0)，半径r＝2.
进而可求得|PA|的最小值为eq \r(2\r(5)2－22)＝4.
可求得四边形PAOB面积的最小值S＝2S△APO＝2×eq \f(1,2)×|PA|×|AO|＝4×2＝8.
二、多项选择题
7．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有( )
A．直线l恒过定点(3,1)
B．圆C被y轴截得的弦长为4eq \r(6)
C．直线l与圆C恒相离
D．直线l被圆C截得最短弦长时，直线l的方程为2x－y－5＝0
答案 ABD
解析 将直线l的方程整理为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－4＝0，,2x＋y－7＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))
则无论m为何值，直线l过定点D(3,1)，故A正确；
令x＝0，则(y－2)2＝24，
解得y＝2±2eq \r(6)，
故圆C被y轴截得的弦长为4eq \r(6)，故B正确；
因为(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，
所以点D在圆C的内部，直线l与圆C相交，故C不正确；
圆心C(1,2)，半径为5，|CD|＝eq \r(5)，当截得的弦长最短时，l⊥CD，kCD＝－eq \f(1,2)，
则直线l的斜率为2，此时直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，故D正确．
8．已知圆C：x2＋y2＋2mx－2(m＋1)y＋2m2＋2m－3＝0(m∈R)上，存在两个点到点A(0，－1)的距离为4，则m的可能的值为( )
A．1 B．－1 C．－3 D．－5
答案 ACD
解析 由题意知，圆C：(x＋m)2＋[y－(m＋1)]2＝22与圆A：x2＋(y＋1)2＝42相交．
故|4－2|＜|CA|＜4＋2，
即2解得m∈(－eq \r(17)－1，－2)∪(0，eq \r(17)－1)，
所以m的值可能为－5，－3,1.
三、填空题
9．过点P(3,5)引圆A：(x－1)2＋(y－1)2＝4的切线PB，则切线长为________.
答案 4
解析 由圆的标准方程(x－1)2＋(y－1)2＝4，得圆心A(1,1)，半径r＝|AB|＝2，
又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|＝eq \r(3－12＋5－12)＝2eq \r(5)，
由直线PB为圆A的切线，得到△ABP为直角三角形，
根据勾股定理得|PB|＝eq \r(|AP|2－|AB|2)＝eq \r(2\r(5)2－22)＝4.则切线长为4.
10．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝____________.
答案 －eq \f(4,3)
解析 由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆心为(1,4)，
因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，
所以eq \f(|a＋4－1|,\r(a2＋12))＝1，
解得a＝－eq \f(4,3).
11．已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________，动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．
答案 0或2 2eq \r(7)
解析 由题意，得直线mx－y＝1与直线x＋m(m－1)y＝2垂直，
所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，
解得m＝0或m＝2；
动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，圆C：x2－2x＋y2－8＝0化为(x－1)2＋y2＝9，圆心(1,0)到直线mx－y－1＝0的距离的最大值为eq \r(0－12＋－1－02)＝eq \r(2)，
所以动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为2eq \r(9－\r(2)2)＝2eq \r(7).
12．已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－4)2＋(y－3)2＝r2(r>0)外切，则r的值为________，若点A(x0，y0)在圆C1上，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－4x0的最大值为________．
答案 4 5
解析 由于两圆外切，所以eq \r(4－02＋3－02)＝|r＋1|，即r＝4.
因为点A(x0，y0)在圆C1上，
所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝1，
所以yeq \\al(2,0)＝1－xeq \\al(2,0)，
所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－4x0＝1－4x0，
因为－1≤x0≤1，
所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－4x0的最大值为5.此时x0＝－1.
四、解答题
13．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．
解 (1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，
因此直线l过定点D(1,1)，又eq \r(12＋1－12)＝1所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，
又k＝tan 120°＝－eq \r(3)，即m＝－eq \r(3).
此时，圆心C(0,1)到直线l：eq \r(3)x＋y－eq \r(3)－1＝0的距离d＝eq \f(|－\r(3)|,\r(\r(3)2＋12))＝eq \f(\r(3),2)，
又圆C的半径r＝eq \r(5)，
所以|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))2)＝eq \r(17).
14.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A(看作一点)的东偏南θ角方向300 km的海面P处eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θ＝\f(\r(2),10)))，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．
(1)问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A，并说明理由；
(2)城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久？
解 (1)如图，建立直角坐标系，则城市A(0,0)，当前台风中心P(30eq \r(2)，－210eq \r(2))，
设t小时后台风中心P的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝30\r(2)－10\r(2)t，,y＝－210\r(2)＋10\r(2)t，))
此时台风的半径为60＋10t，
10小时后，|PA|≈184.4 km，台风的半径r＝160 km，
因为r<|PA|，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.
(2)t小时后台风侵袭的范围可视为以
P(30eq \r(2)－10eq \r(2)t，－210eq \r(2)＋10eq \r(2)t)为圆心，60＋10t为半径的圆，
若城市A受到台风侵袭，
则eq \r([30\r(2)－10\r(2)t－0]2＋[－210\r(2)＋10\r(2)t－0]2)≤(60＋10t)
⇒300t2－10 800t＋86 400≤0，即t2－36t＋288≤0，
解得12≤t≤24.
故该城市受台风侵袭的持续时间为12小时．
15．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝8相交于P，Q两点．
(1)求线段PQ的长；
(2)记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆C上滑动，求△MNC面积最大时的直线NM的方程．
解 (1)由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ的方程为3x＋y－3＝0.
点(0,0)到直线PQ的距离d＝eq \f(3,\r(10))，
|PQ|＝2eq \r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(10))))2)＝eq \f(\r(310),5).
(2)∵|MC|＝eq \r(2)，|NC|＝2eq \r(2).
∴S△MNC＝eq \f(1,2)|MC||NC|sin ∠MCN＝2sin ∠MCN，
当∠MCN＝90°时，S△MNC取得最大值．
此时MC⊥NC，又kCM＝1，则直线NC为y＝－x＋4.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－x＋4，,x－32＋y－12＝8，))得N(1,3)或N(5，－1)．
当点N为(1,3)时，kMN＝－3，此时MN的方程为3x＋y－6＝0；
当点N为(5，－1)时，kMN＝－eq \f(1,3)，此时MN的方程为x＋3y－2＝0.
∴MN的方程为3x＋y－6＝0或x＋3y－2＝0.