人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》单元测试卷

考试范围：第二章；考试时间：120分钟；总分150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2. 下面说法正确的是(    )

A. 经过定点的直线都可以用方程表示
B. 不经过原点的直线都可以用方程表示
C. 经过定点的直线都可以用方程表示
D. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示

3. 过点引直线，使，到它的距离相等，则这条直线的方程是(    )

A.
B.
C. 或
D. 或

4. 已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为

A.  B.  C.  D.

5. 已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 圆：，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．(    )

A.  B.  C.  D.

7. 以下四种表述不正确的是(    )

A. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 直线恒过定点

8. 与圆，圆都相切的直线有(    )

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是(    )

A. 的倾斜角等于 B. 在轴上的截距等于
C. 与直线垂直 D. 与直线平行

10. 下列结论中正确的有(    )

A. 过点且与直线平行的直线的方程为
B. 过点且与直线垂直的直线的方程为
C. 直线：与直线：平行，则的值为或
D. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为

11. 以下四个命题表述正确的是(    )

A. 直线恒过点
B. 圆上有且仅有个点到直线：的距离都等于
C. 圆：与圆：恰有三条公切线，则
D. 已知圆：，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线方程为

12. 点在圆：上，点在圆：上，则(    )

A. 的最小值为
B. 的最大值为
C. 两个圆心所在的直线斜率为
D. 两个圆相交弦所在直线的方程为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 直线的参数方程是是参数，则直线的一个方向向量是               答案不唯一
14. 已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为          ．
15. 已知定点，动点、分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为          ．
16. 过定点可作两条直线与圆相切，则的取值范围是___．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知在平面直角坐标系中的两点，．

求线段的中垂线的方程

求以向量为方向向量且过点的直线的方程

一束光线从点射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在直线的方程．

18. 已知直线．

若直线的倾斜角是的倾斜角的两倍，且过点，求直线的方程

若直线的一个法向量恰为直线的一个方向向量，且在轴上的截距为，求直线的方程．

19. 已知的三个顶点分别为，，，求：
    边所在直线的方程；
    边上中线所在直线的方程；
    边的垂直平分线的方程．
20. 已知直线
    Ⅰ当时，直线过与的交点，且垂直于直线，求直线的方程；
    Ⅱ求点到直线的距离的最大值．
21. 已知圆的方程．证明对任意实数，圆必过定点
    求圆心的轨迹方程
    对，求面积最小的圆的方程．
22. 已知圆．
    由点向圆引切线，，，为切点，求直线方程；
    直线上的点向圆引切线，，，为切点，判断直线是否过定点，若过定点，请求出定点坐标，否则说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的斜率以及两直线之间的关系．
由，得，进而可解得的值．

【解答】

解：，，
的斜率一定存在，设为，
又直线经过点，，

又，
，
，
即，
解得或，
即所求实数的值是或．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据直线方程的几种形式，注意斜率为和斜率不存在时的特殊情况，逐一判断各个命题是否正确．
本题考查直线方程的几种形式，需单独讨论斜率为和斜率不存在时的特殊情况，属于中档题．
【解答】
解：对于，经过定点斜率不存在的直线不能用方程表示，选项错误；
对于，不经过原点的和不与坐标轴平行的直线都可以用表示，选项错误；
对于，经过定点的直线，当斜率不存在时不能用方程表示，选项错误；
对于，经过任意两个不同的点，的直线：
当斜率等于时，，，方程为，能用方程表示；
当斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示；
当斜率不为且斜率存在时，也能用此方程表示，选项正确；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线方程的求法，考查直线斜率求法和中点坐标公式，考查分类讨论思想，属于中档题．
分两种情况讨论：过且与直线平行的直线；过点与线段的中点的直线，分别求解即可．

【解答】

解：由题意得，
线段的中点为．
分两种情况讨论：过且与直线平行的直线满足题意，
其方程为，
整理得
过点与线段的中点的直线满足题意，
其方程为，
整理得．
故满足条件的直线方程是或，
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线恒过定点及两点间距离公式，属于中档题．
根据题意得直线恒过定点，然后应用两点间距离公式计算即为所求．
【解答】
解：直线，得
，此方程是过两直线和交点的直线系方程．
设交点为，解方程组，可知两直线的交点为，
故直线恒过定点，
记定点和直线的距离为，
则．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是点到直线距离公式，两点间距离公式，点关于直线对称的求解，难度一般，属于中档题．
设点关于直线的对称点为，根据对称的特性得知，再根据直线垂直直线且两点到直线距离相等列式求解即可．

【解答】

解：设点关于直线的对称点为，
则，
由对称性可得，解得
故点坐标为，
由对称特性知：
则，
故选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆的一般方程与标准方程，注意将圆的一般方程变形为标准方程，属于中等题．
根据题意，将圆的方程变形为普通方程，分析其圆心半径，可得当圆的面积最小时，必有，此时，即可得此时面积最小时圆的方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，圆：，
变形可得，
其圆心为，半径为，
则，
当圆的面积最小时，必有，此时，
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线和圆的位置关系，两圆的位置关系，两个圆的公切线的条数，以及直线过定点问题，属于中档题．
对于根据题意设的坐标为，由切线的性质得点在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标．
对于分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，又因为，即可判断．
对于把圆的方程化为标准形式，分别求出圆心和半径，求出两圆的圆心距，圆：与圆：有三条公切线，可得圆心距等于两圆的半径和，即可判断．
对于将方程写成，然后由求解即可．
【解答】
解：对于因为点为直线上一动点，
所以设．
因为、是圆的两条切线，切点分别为、，
所以，
所以点在以为直径的圆上，
即弦是圆和圆的公共弦．
因为圆心的坐标是，且半径，
所以圆的方程为 ，
又 ，
所以，得，
即公共弦所在的直线方程为，
所以由得
所以直线过定点A正确；
对于圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
又因为，
所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，B正确；
对于曲线即，则圆心，半径为，
曲线即，则圆心，半径为，
两圆的圆心距为，
因为圆：与圆：有三条公切线，
则两圆属于外切的位置关系，
所以，
解得，C正确；
对于直线即，
由，解得
所以直线过定点D错误．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

略

【解答】

略

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率，两条直线平行的判定，两条直线垂直的判定，属于中档题．
由题意，可得直线的斜率与方程，再根据选项逐一判断即可．

【解答】

解：直线的一个方向向量为，
直线的斜率为，故倾斜角为，故A错误；
又过点，故直线的方程为，即，
令，解得，故在轴上截距为，故B错误；
直线的斜率为，，
与直线垂直，故C正确；
直线的斜率为，与直线的斜率相等，但在轴上截距不等，
与直线平行，故D正确．
故选CD．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两直线的平行和垂直的位置关系，直线的点斜式和截距式方程，属于中档题．
根据两直线的平行和垂直得到斜率关系，进而通过点斜式得到直线方程，并化为一般式，可判定，根据直线：与直线：平行，求出的值，可判定当截距都为时，求得直线方程为，可判定．

【解答】

解：直线的斜率为，
则过点且与直线平行的直线的方程为，
即，故 A正确；
B.直线的斜率为，
则过点且与直线垂直的直线的方程为，
即，故B正确；
C.直线：的斜率为，
因为直线与直线平行，则直线的斜率存在，且，
解得或，
当时，两直线重合，当，两直线平行，故C错误
D.因为过点，且在两坐标轴上的截距相等，
当截距都为时，直线方程为，故D错误；
故选AB．

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，属于中档题．
A.将直线方程进行重新整理，利用参数分离法进行求解即可；根据圆心到直线的距离与半径的关系可判断；通过题意可得两圆相切，则两圆心的距离为半径和，即可求得的值；求出以线段为直径的圆的方程，题中的切点、为圆与圆的交点，将两圆作差即可求出公共弦的方程．
【解答】
解：直线，
得，
由，得
即直线恒过定点，
故A错误；
B. 圆心到直线的距离为
，
圆的半径，
故圆上有个点到直线的距离为，
故B正确；
C. 曲线，即，
曲线，
即，
两圆心的距离为，
解得，故C正确；
D. 圆的圆心为，
以线段为直径的圆的方程为，
即，
故直线，即为圆与圆的公共弦方程为：，
即，故D正确．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的一般方程与标准方程，以及直线的斜率和相交弦的有关知识，考查学生的计算能力，属于一般试题．
利用圆的有关知识逐一判断即可．
【解答】
解：由已知，圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
两圆的圆心距为，
对于，的最小值为，故A不正确；
对于，的最大值为，故B正确
对于，两个圆心所在的直线斜率为，故C正确；
对于，，两圆外离，故没有相交弦，故D不正确；
故选BC．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化，直线的方向向量，属于基础题．

求出直线的普通方程，即可得出直线的斜率可得方向向量． 
【解答】

解：由可得

直线的普通方程为，即， 
直线的斜率的，

直线的一个方向向量是
故答案为 

14.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查直线方程的求解，属于基础题．
由题知要使过点的直线到点，的距离相等，则直线与直线平行或直线过线段的中点对以上两种情形分情况讨论，即可求得结果．

【解答】

解：由题知，使过点的直线到点，的距离相等，则直线与直线平行或直线过线段的中点．
当直线与直线平行时，
则直线的斜率等于直线的斜率即．
故直线的方程为即
当直线过线段的中点时，
由中点坐标公式得的中点坐标为即，
故直线的方程为即．
故直线的一般式方程为或．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两点间的距离的最值问题，点关于直线的对称问题，直线的两点式方程，两直线的交点坐标，属中档题．
确定点作关于直线的对称点，点关于轴的对称点，由对称性可得，求此时直线与的交点坐标即可．

【解答】

解：如图：

点关于直线的对称点为 ，点关于轴的对称点，因为动点和点分别在直线和上运动，所以，，所以的周长为

，
此时直线为，即为，由，可得点的坐标为
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆的方程，以及点与圆的位置关系，属于中档题．
过定点可作两条直线与圆相切，所以点在圆的外部，同时满足，解不等式即可得解．
【解答】
解：把圆的方程化为标准方程得：，
所以，
解得：或，
又点应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：，
解得：，则实数的取值范围是，
故答案为：．  

17.【答案】易知线段的中点的坐标为，

又，线段的中垂线的斜率为，

由直线的点斜式方程可得线段的中垂线的方程为，

即．

由已知得直线的斜率为，由直线的点斜式方程得直线的方程为，即．

设关于轴的对称点为，易知的坐标为，

，则直线的方程

为，即反射光线所在直线的方程为．

解题感悟本题解题的关键是利用直线的点斜式方程．

【解析】本题考查了直线方程的求解，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力．

先根据中点坐标公式得到线段的中点的坐标，再根据斜率公式求出，进而可得中垂线的斜率，然后根据点斜式求解．
易知直线的斜率为，利用点斜式求出方程即可．
根据对称知识可得点关于轴的对称点的坐标，进而可求出反射光线所在直线的方程．

18.【答案】因为直线的斜率为，

所以其倾斜角为．

又因为直线的倾斜角是的倾斜角的两倍，

所以的倾斜角为，

所以直线的斜率不存在．

又因为过点，

所以直线的方程为．

因为直线的斜率为，

所以直线的一个方向向量为，

即直线的一个法向量为，

所以可设直线的方程为．

因为在轴上的截距为，

所以将点代入，

解得，

所以直线的方程为．

【解析】略
 

19.【答案】解：因为直线经过和两点，

由两点式得直线的方程为，即 
设中点的坐标为，则，，
边的中线过点，两点，

由截距式得所在直线方程为，即 
的斜率，则的垂直平分线的斜率，

由斜截式得直线的方程为，即．

【解析】本题考查直线方程的两点式，斜截式，截距式，一般式方程，考查中点坐标公式，以及两直线垂直的性质，考查直线的斜率的求解，属于中档题．

由和的坐标直接利用直线方程的两点式求出直线方程即可；

根据中点坐标公式求出与的中点的坐标，利用和的坐标由直线的截距式写出中线方程即可；

求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为，求出垂直平分线的斜率，由中的坐标，写出直线的方程即可．

20.【答案】解：Ⅰ当时，直线：，：，
则，解得交点．
又由直线垂直于直线，而直线的斜率，
两直线垂直得斜率乘积为，得到．
又因为直线过与的交点，
直线的方程为，即．
Ⅱ直线：过定点，
又，
点到直线的距离的最大值为． 

【解析】本题考查了求两条直线交点坐标的方法，考查直线方程的点斜式，两点间的距离公式应用，考查数学转化思想方法，属于中档题．
Ⅰ联立两个直线解析式先求出和的交点坐标，然后利用直线与直线垂直，根据斜率乘积为得到直线的斜率，即可写出直线方程；
Ⅱ由直线过定点，把点到直线的距离的最大值转化为两点间的距离求解．
 

21.【答案】证明：分离参数，化为，

又，

得或，
对任何实数，圆必过点、．

解：恒成立，
设的坐标为，
则圆心的方程为消去，得，
圆心的轨迹方程为．

解：面积最小的圆就是以为一条直径的圆，
圆心为，半径为，

方程是．

【解析】本题考查圆过定点问题，圆有关的轨迹问题，以及经过、两点的面积最小的圆方程的求法属于中档题．

分离参数，化为，此圆经过的定点就是和的交点，解方程组求得交点的坐标．
设的坐标为，则圆心的方程为消去，可得圆心的轨迹方程

面积最小的圆就是以为一条直径的圆，线段的中点是圆心，线段是直径．

22.【答案】解：设圆：的圆心，连接．
则，．
以为直径的圆经过点，，即为两圆的公共弦．
把两圆的方程相减可得，即直线的方程为．
根据题意，点为直线上一动点，则设，
，是圆的切线，
，，
是圆与以为直径的两圆的公共弦，
可得以为直径的圆的方程为，经过点，，即为两圆的公共弦．
把两圆的方程相减可得直线的方程为：，
即，则，解得．
所以直线过定点． 

【解析】本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．
求出圆心的坐标，，写出以为直径的圆，然后把该圆的方程与已知方程相减可得的方程；
根据题意，设，分析可得是圆与以为直径的两圆的公共弦，据此可得以为直径的圆的方程．又由圆的方程，分析可得直线的方程，变形可得答案．