2021学年第二章 直线和圆的方程本章综合与测试教案

 《解析几何初步》全章复习与巩固    

【要点梳理】

要点一：直线方程的几种形式

   （1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．

   （2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．

（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．

常用的直线方程有：

    ①；

    ②；

    ③；

    ④(λ为参数)．

要点二：两条直线的位置关系

1．特殊情况下的两直线平行与垂直．

 (1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为，互相平行；

(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为），另一条直线的倾斜角为时，两直线互相垂直。

2．斜率都存在时两直线的平行：

（1）已知直线和，则=且

（2）已知直线：和：，则

∥ 。

要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。

3．斜率都存在时两直线的垂直：

（1）已知直线和，则 ；

（2）已知直线：和：，则

．

要点三：点到直线的距离公式

1．点到直线距离公式：

点到直线的距离为：

2．两平行线间的距离公式 

已知两条平行直线和的一般式方程为：，：，则与的距离为。

要点诠释：一般在其中一条直线上随意地取一点M，再求出点M到另一条直线的距离即可

要点四：对称问题

1．点关于点成中心对称

点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

设，对称中心为，则P关于A的对称点为。

2．点关于直线成轴对称

由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：

设点关于直线的对称点为，则有，求出、。

特殊地，点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为。

3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：

（1）点关于x轴的对称点为；

（2）点关于y轴的对称点为；

（3）点关于原点的对称点为；

（4）点关于直线的对称点为；

（5）点关于直线的对称点为。

类型一：直线方程的综合问题

例1．已知A(-m-3，2)，B(-2m-4，4)，C(-m，m)，D(3，3m+2)，若直线AB⊥CD，求m的值．

【思路点拨】两直线垂直的前提条件是、均存在且不为零，这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论．

【答案】1或-1

    【解析】∵  A、B两点纵坐标不相等，

∴  AB与x轴不平行．

∵  AB⊥CD，

    ∴  CD与x轴不垂直，-m≠3，m≠-3．

    ①当AB与x轴垂直时，

    -m-3＝-2m-4，解得m＝-1．

    而m＝-1时，C、D纵坐标均为-1，

    ∴  CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意。

②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式

，

．

    ∵  AB⊥CD，∴  ，

    即，解得m＝1．

    综上，m的值为1或-1．

举一反三：

【变式1】已知：，求使的的值。

【答案】或

【解析】

解法一：当直线斜率不存在，即时，有，符合；

直线斜率存在时，。

故使的的值为或。

解法二：由解得或，故使的的值为或。

例2．过点作直线，使其夹在两直线，和之间的线段被M平分，求直线的方程。

【思路点拨】求直线方程需两个条件，现已知过，需再求出上的一个点或的斜率。

【解析】方法一：设, , .

过M作MQ//l1交l2于Q点，则Q为PP2中点，

由解得，∴点P坐标为（2，4），

又MQ的方程为：y-1=(x-0)，即x-3y+3=0,

∴ 由 得，∴Q点坐标为（3，2）。

由中点坐标公式可得P2坐标为（4，0），

∴ 由两点式可得直线的方程为：即x+4y-4=0。

方法二：由图示可得的斜率存在，故设的方程为y=kx+1，

由得P1点坐标为（，），

由可解得P2点坐标为（，），

∵M（0，1）是P1P2的中点，∴+=0，解之得k=-，

∴ 直线的方程为：，即x+4y-4=0.

方法三：设P1坐标为（m, n），由M（0，1）为P1P2中点，∴ P2点坐标为(-m,2-n)，

∵P1∈l1, P2∈l2. ∴有m-3n+10=0, 2m+n+6=0.

由，解得，

由两点式可得方程：即x+4y-4=0。

【总结升华】两个条件确定直线，求直线方程可用直接法也可用待定系数法。熟练运用中点坐标公式，灵活运用直线方程形式，对简化解题过程是十分必要的。

举一反三：

【变式1】直线与直线x=1相交于P点，与直线9x+3y-1=0相交于Q点，并且线段PQ的中点为（, 3），那么直线的斜率是（  ）

（A）      （B）    （C）-     （D）-

【答案】B

【解析】设P（1，y1），由P，Q中点为（，3），

故Q点横坐标为-，代入9x+3y-1=0中得Q（-，），

所以得P（1，），∴tan=.

例3．求直线①关于直线②对称的直线方程．

【思路点拨】求出交点坐标，转化为求点关于直线的对称点的问题．

【答案】7x+y+22＝0

【解析】由①②得交点，取直线①上点A(0，-2)．设A关于直线②的对称点为，

则有  解得

故所求直线过点，，所求直线方程为7x+y+22＝0．

【总结升华】本题利用转化思想，将对称直线问题转化成对称点问题，在中学数学中，转化与化归是最基本、最重要的思想方法之一，它无处不在．

举一反三：

【变式1】由点P（2，3）发出的光线射到直线上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．

【答案】：

【解析】设点P关于直线的对称点，则满足条件

解得，∴  由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为，

即．

要点五：圆的方程

求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．

1．圆的标准方程

，其中为圆心，为半径.

要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点：.

(2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

2．圆的一般方程

当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径.

要点诠释：由方程得

(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.

(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.

 要点六：点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有

(1)若点在圆上

(2)若点在圆外

(3)若点在圆内

要点七：直线与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系：

(1)直线与圆相交，有两个公共点；

(2)直线与圆相切，只有一个公共点；

(3)直线与圆相离，没有公共点.

2.直线与圆的位置关系的判定方法：

(1)代数法：

判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.

如果有解，直线与圆C有公共点；

有两组实数解时，直线与圆C相交；

有一组实数解时，直线与圆C相切；

无实数解时，直线与圆C相离.

(2)几何法：

设直线，圆，圆心到直线的距离记为，则:

当时，直线与圆C相交；

当时，直线与圆C相切；

当时，直线与圆C相离.

要点诠释：

(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.

(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.

(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.

要点八：圆与圆的位置关系

1.圆与圆的位置关系：

(1)圆与圆相交，有两个公共点；

(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；

(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.

2.圆与圆的位置关系的判定：

(1)代数法：

判断两圆的方程组成的方程组是否有解.

有两组不同的实数解时，两圆相交；

有一组实数解时，两圆相切；

方程组无解时，两圆相离.

(2)几何法：

圆与圆，两圆圆心距，则：

当时，两圆相交；

当时，两圆外切；

当时，两圆外离；

当时，两圆内切；

当时，两圆内含.

要点诠释：

判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.

要点九：求圆的切线方程的常用方法：

(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；

(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；

(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程.

常见圆的切线方程：

①过圆上一点的切线方程是；

②过圆上一点的切线方程是：

.

类型二：圆的方程的综合问题

例4．直线:被圆C: 所截得的弦的长．

【思路点拨】在解决有关圆的一类问题时，应先注意利用与圆有关的几何性质．

【解析】圆C方程化为，故圆心,半径

圆心到直线的距离：,

∴由垂径定理得弦长。

举一反三：

【变式1】直线被圆C:所截得的弦的中点是，求直线的方程。

【答案】：

【变式2】已知直线：和圆：.

（1）时，证明与总相交。

（2）取何值时，被截得弦长最短，求此弦长。

【答案】：

（1）将直线整理成点斜式方程，则直线过定点，斜率为.

将圆整理为标准方程，则圆心，半径.

∵ .

∴点在圆内，故时， 与总相交。

（2）由，当与垂直时，被截得弦长最短，

∴当即时，弦长最短，

设弦端点为、，则，即最短弦长为。

类型三：直线与圆的方程的综合问题

例5． 已知⊙C：，点P(2，-1)，过点P作⊙C的切线，切点为A、B．

    (1)求切线PA、PB的方程；

    (2)求线段PA的长；

    (3)求过A、B两点的直线方程；

    (4)求弦AB的长．

    【思路点拨】用切线的几何特征、平面几何知识解题．

    【解析】(1)∵  (2-1)2+(-1-2)2＝10＞2，

    ∴  点P(2，-1)在⊙C外．

    由题意知过点P的切线的斜率存在．

    设所求圆的切线方程为y+1＝k(x-2)，

    即．

    由圆心C(1，2)到切线的距离为半径，

    得，解得k＝7或k＝-1．

    故所求切线方程为或．

    (2)在Rt△APC中，|PA|2＝|PC|2－|AC|2＝8，

    ∴  ．

(3)以P为圆心，|AP|的长为半径的圆的方程为，线段AB为⊙C与⊙P的公共弦，由圆系方程知，公共弦AB所在的直线方程为．

(4)圆心C到弦AB的距离为，圆半径，由平面几何知识得．

【总结升华】用圆系方程求解过A、B两点的直线方程的方法值得重视．

举一反三：

【变式1】已知直线过点P(2，4)，且与圆相切，求直线的方程．

    错解：∵  ，且，∴  ，

    ∴  的方程为，即．

    错因分析：本题错误的原因是误把点P当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．

    正解：当直线斜率不存在时，直线的方程为x＝2，适合题意．

    当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，

    ∵  直线与圆相切，∴  ，解得，

    ∴  直线的方程为．

    ∴  直线的方程为或．