高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程本章综合与测试导学案，共5页。

1．直线3x＋y－4＝0的斜率和在y轴上的截距分别是( )
A．－3,4 B. 3，－4
C. －3，－4 D. 3,4
答案 A
解析 直线3x＋y－4＝0 的斜率为－3，在y轴上的截距为4.
2．过点A(3,3)且垂直于直线4x＋2y－7＝0的直线方程为( )
A．y＝eq \f(1,2)x＋2 B. y＝－2x＋7
C. y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(5,2) D. y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)
答案 D
解析 过点A(3,3)且垂直于直线4x＋2y－7＝0的直线斜率为eq \f(1,2)，代入点A得到y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2).
3．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－2))x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A.eq \r(2) B. eq \f(8\r(2),3) C. eq \r(3) D. eq \f(8\r(3),3)
答案 B
解析 ∵直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
∴eq \f(1,a－2)＝eq \f(a,3)≠eq \f(6,2a)，且a－2≠0，a≠0，∴a＝－1，
∴直线l1与l2之间的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\f(2,3))),\r(12＋－12))＝eq \f(8\r(2),3).
4．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是( )
①y＝x＋1；②y＝2；③y＝eq \f(4,3)x；④y＝2x＋1.
A．①③ B．①④
C．②③ D．③④
答案 C
解析 对于①，d1＝eq \f(|5－0＋1|,\r(2))＝3eq \r(2)>4；
对于②，d2＝2<4；对于③，d3＝eq \f(|5×4－3×0|,5)＝4；
对于④，d4＝eq \f(|5×2－0＋1|,\r(5))＝eq \f(11,\r(5))>4，
所以符合条件的有②③.
5．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°
B. 对任意的k，l1与l2都有公共点
C. 对任意的k，l1与l2都不重合
D. 对任意的k，l1与l2都不垂直
答案 BD
解析 A，存在k＝0，使得l2的倾斜角为90°，故选项不正确；B，直线l1：x－y－1＝0过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1))，直线l2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k＋1))x＋ky＋k＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k∈R))⇒keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y＋1))＋x＝0过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1))，故B是正确的．C，当l1与l2重合时，l2的斜率为1，即－eq \f(k＋1,k)＝1，解得k＝－eq \f(1,2)，满足重合，故错误．D，假如l1⊥l2，则l2的斜率为－1，即－eq \f(k＋1,k)＝－1，无解，故正确．
6．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
答案 y＝－eq \f(3,2)x或y＝x－5
解析 当截距为0时，直线的方程为y＝－eq \f(3,2)x，满足题意；
当截距不为0时，设直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1(a≠0)，
把点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－3))代入直线方程可得a＝5，此时直线方程为y＝x－5.
7．和直线5x－4y＋1＝0关于x轴对称的直线的方程为__________．
答案 5x＋4y＋1＝0
解析 设所求直线上的任意一点的坐标为(x′，y′)，
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x′，－y′)．
因为点(x′，－y′)在直线5x－4y＋1＝0上，
所以5x′＋4y′＋1＝0，
即所求直线方程为5x＋4y＋1＝0.
8．直线l被直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，则直线l的方程为________．
答案 3x＋y＋1＝0
解析 设l与l1的交点的坐标为A(a，y1)，l与l2的交点的坐标为B(b，y2)，
则y1＝－4a－3，y2＝eq \f(3b,5)－1.
由中点坐标公式得eq \f(a＋b,2)＝－1，eq \f(y1＋y2,2)＝2，
即a＋b＝－2，(－4a－3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3b,5)－1))＝4，
解得a＝－2，b＝0，
所以A(－2,5)，B(0，－1)，
所以直线l的方程为3x＋y＋1＝0.
9．已知△ABC的三个顶点坐标分别为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，－2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，2))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3)).
(1)求边AB上的高所在直线的一般式方程；
(2)求边AB上的中线所在直线的一般式方程．
解 (1)∵Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，－2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，2))，
∴kAB＝eq \f(1,2)，
∴边AB上的高所在直线的斜率为－2，且过点C(1,3)，
∴边AB上的高所在直线的方程为y－3＝－2(x－1)，其一般式方程为2x＋y－5＝0，
(2)设AB的中点为D，
∵Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，－2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，2))，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0))，
∴边AB的中线CD的斜率为k＝3，
∴边AB上的中线CD的一般式方程为3x－y＝0.
10．已知直线l：3x＋λy－2＋2λx＋4y＋2λ＝0.
(1)求证：直线l过定点；
(2)求过(1)的定点且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程．
(1)证明 根据题意将直线l化为
3x＋4y－2＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋y＋2))＝0.
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝2，))
所以直线过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2)).
(2)解 由(1)知定点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，2))，设直线的斜率为k，
且直线与3x－2y＋4＝0垂直，所以k＝－eq \f(2,3)，
所以直线的方程为y－2＝－eq \f(2,3)(x＋2)，
即2x＋3y－2＝0.
11．若点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))关于直线y＝kx＋b的对称点是Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，3))，则直线y＝kx＋b在y轴上的截距是( )
A．1 B. 2 C. 3 D. 4
答案 D
解析 ∵点A(1,1)关于直线y＝kx＋b的对称点是B(－3,3)，
由中点坐标公式得AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2))，
代入y＝kx＋b得2＝－k＋b，①
直线AB的斜率为eq \f(3－1,－3－1)＝－eq \f(1,2)，则k＝2.
代入①得，b＝4.
∴直线y＝kx＋b为y＝2x＋4 ，
∴直线y＝kx＋b在y轴上的截距是4.
12．已知点A(2, 3)，B(－3, －2)，若直线l过点P(1, 1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥2或k≤eq \f(3,4) B.eq \f(3,4)≤k≤2
C．k≥eq \f(3,4) D．k≤2
答案 A
解析 因为kAP＝2，kBP＝eq \f(3,4)，结合图象可知，当k≥kAP＝2或k≤kBP＝eq \f(3,4)时，则直线l与线段AB相交，故选A.
13．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是( )
A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)
C．(4,6) D．(0,2)
答案 A
解析 设B点坐标为(x，y)，
根据题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kAC·kBC＝－1，,|BC|＝|AC|，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－4,3－0)·\f(y－3,x－3)＝－1，,\r(x－32＋y－32)＝\r(0－32＋4－32)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6，))所以B(2,0)或B(4,6)．
14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为________．
答案 eq \r(5)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n，所以点(m，n)到原点的距离d＝eq \r(m2＋n2)＝eq \r(5＋2n2＋n2)＝eq \r(5n＋22＋5)≥eq \r(5)，当n＝－2时等号成立，此时m＝－1.
所以点(m，n)到原点的距离的最小值为eq \r(5).
15．已知两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A．2eq \r(10) B．6 C．3eq \r(3) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A′(－2,0)，则光线所经过的路程即A1(4,2)与A′(－2，0)两点间的距离．于是|A1A′|＝eq \r(4＋22＋2－02)＝2eq \r(10).
16．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为eq \r(5)，判断m与n的位置关系．
解 (1)联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋3y＋6＝0，,x－2y＋3＝0.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－21，,y＝－9，))即m与n的交点为(－21，－9)．
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为eq \f(x,b)＋eq \f(y,－b)＝1，
将(－21，－9)代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，故满足条件的直线l方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
(2)设原点O到直线m的距离为d，
则d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－a＋6)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋3))2))＝eq \r(5)，解得a＝－eq \f(1,4)或a＝－eq \f(7,3)，
当a＝－eq \f(1,4)时，直线m的方程为x－2y－5＝0，此时m∥n；
当a＝－eq \f(7,3)时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，此时m⊥n.