苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示精品同步测试题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示精品同步测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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一、选择题


1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①eq \(AD,\s\up8(→))与eq \(AB,\s\up8(→))；②eq \(DA,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))；③eq \(CA,\s\up8(→))与eq \(DC,\s\up8(→))；④eq \(OD,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→)).其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是( )


A．①④ B．②③ C．①③ D．②④


C [如图所示，eq \(AD,\s\up8(→))与eq \(AB,\s\up8(→))为不共线向量，可以作为基底.eq \(CA,\s\up8(→))与eq \(DC,\s\up8(→))为不共线向量，可以作为基底.eq \(DA,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))，eq \(OD,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))均为共线向量，不能作为基底．


]


2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )


A．不共线B．共线


C．相等D．不确定


B [a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)，所以a＋b与c共线．]


3．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为( )


A．－2B．－4


C．－6D．－8


D [易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝6λ，,－4＝kλ，))∴k＝－8.]


4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则eq \f(n,m)＝( )


A．eq \f(1,2)B．2


C．eq \f(1,4)D．4


B [由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，


∴eq \f(n,m)＝2.]


5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq \(AD,\s\up8(→))＝2eq \(DB,\s\up8(→))，eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up8(→))＋λeq \(CB,\s\up8(→))，则λ＝( )


A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,2)


A [∵eq \(AD,\s\up8(→))＝2eq \(DB,\s\up8(→))，∴eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)(eq \(CB,\s\up8(→))－eq \(CA,\s\up8(→)))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up8(→)).


又∵eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up8(→))＋λeq \(CB,\s\up8(→))，∴λ＝eq \f(2,3).]


二、填空题


6．(一题两空)如图，在正方形ABCD中，设eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(AD,\s\up8(→))＝b，eq \(BD,\s\up8(→))＝c，则在以a，b为基底时，eq \(AC,\s\up8(→))可表示为________，在以a，c为基底时，eq \(AC,\s\up8(→))可表示为________．





a＋b 2a＋c [由平行四边形法则可知，eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))＝a＋b，以a，c为基底时将eq \(BD,\s\up8(→))平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．]


7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．


(－∞，4)∪(4，＋∞) [若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.]


8．如图，在△ABC中，eq \(BC,\s\up8(→))＝a，eq \(CA,\s\up8(→))＝b，eq \(AB,\s\up8(→))＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，f ，则eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(BE,\s\up8(→))＋eq \(CF,\s\up8(→))＝________.





0 [原式＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→)))＝0.]


三、解答题


9．如图，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(AD,\s\up8(→))＝b，E，f 分别是AB，BC的中点，G点使eq \(DG,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up8(→))，试以a，b为基底表示向量eq \(AF,\s\up8(→))与eq \(EG,\s\up8(→)).





[解] eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BF,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up8(→))


＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))＝a＋eq \f(1,2)b.


eq \(EG,\s\up8(→))＝eq \(EA,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(DG,\s\up8(→))


＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up8(→))


＝－eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,3)a＝－eq \f(1,6)a＋b.


10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.


[解] 设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则


－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，


即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ1－3λ2＝－1，,2λ1＋12λ2＝3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝－\f(1,18)，,λ2＝\f(7,27)，))


∴a＝－eq \f(1,18)b＋eq \f(7,27)c.





1．(多选题)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( )


A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2


C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2


ACD [B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．故选ACD．]


2．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足eq \(AM,\s\up8(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→))，则△ABM与△ABC的面积之比为( )


A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6)


B [如图，分别在eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AC,\s\up8(→))上取点E，f ，





使eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→))，


在eq \(BC,\s\up8(→))上取点G，使eq \(BG,\s\up8(→))＝eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up8(→))，则EG∥AC，f G∥AE，


∴eq \(AG,\s\up8(→))＝eq \(AE,\s\up8(→))＋eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \(AM,\s\up8(→))，


∴M与G重合，∴eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(BM,BC)＝eq \f(1,4).]


3．如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(NC,\s\up8(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up8(→))＝meq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up8(→))，则实数m的值为________．





eq \f(1,9) [设eq \(NP,\s\up8(→))＝λeq \(NB,\s\up8(→))，eq \(NP,\s\up8(→))＝eq \(AP,\s\up8(→))－eq \(AN,\s\up8(→))＝meq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up8(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→))＝meq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(1,36)eq \(AC,\s\up8(→))，λeq \(NB,\s\up8(→))＝λ(eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AN,\s\up8(→)))＝λeq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(λ,4)eq \(AC,\s\up8(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝λ，,－\f(1,36)＝－\f(λ,4)，))∴m＝λ＝eq \f(1,9).]


4．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) [当a∥b时，设a＝mb，


则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，


即e1＋2e2＝mλe1＋me2，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝mλ，,2＝m，))解得λ＝eq \f(1,2)，即当λ＝eq \f(1,2)时，a∥b.


又a与b是一组基底，


所以a与b不共线，所以λ≠eq \f(1,2).]


5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.


(1)证明：a，b可以作为一组基底；


(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；


(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．


[解] (1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，


则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．


由e1，e2不共线，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,3λ＝－2))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3).))


∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．


(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)


＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝1.))


∴c＝2a＋b.


(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝3，,μ＝1.))


故所求λ，μ的值分别为3和1.