苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示一等奖ppt课件

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向量平行的坐标表示(1)坐标表示
(2)本质:平面向量平行的坐标表示反映的是平行向量坐标之间的关系,定量描述了共线向量之间的关系.(3)应用:①已知两个向量的坐标判定两向量共线;②已知两个向量共线,求点或向量的坐标.
【思考】　若a= ,b= ,且x2y2≠0,则向量a,b共线时,它们的坐标之间的关系如何用比例形式表示?提示:可以表示为
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a=-2b.(　　)(2)已知a= ,b= ,其中b≠0,且x1x2-y1y2=0,则a∥b.(　　)(3)已知A(-6,10),B(0,2),则线段AB的中点坐标为(-3,6).(　　)
提示:(1)√.因为b=(1,-2),所以-2b=-2(1,-2)=(-2,4)=a.(2)×.平面向量共线的坐标表示的特点是两个向量的坐标“纵横交错积相减”.(3)√.由中点坐标公式可知线段AB的中点坐标为 即(-3,6).
2.(教材二次开发:例题改编)已知向量a=(4,2),b=(x,3)且a∥b,则x=(　　)A.9　　　B.6　　　C.5　　　D.3【解析】选B.因为a∥b,所以4×3-2x=0,解得x=6.
3.已知A(1,2),B(4,5),若 =2 ,则点P的坐标为________. 【解析】设P(x,y),则 =(x-1,y-2), =(4-x,5-y),又 =2 ,所以(x-1,y-2)=2(4-x,5-y),即 解得 所以点P的坐标为(3,4).答案:(3,4)
类型一　向量平行的坐标表示及应用(逻辑推理、数学运算)【典例】1.(2020·长春高一检测)下列四组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)A.a=(1,2),b=(-2,-4)B.a=(3,4),b=(4,3)C.a=(2,-1),b=(-2,1)D.a=(3,5),b=(6,10)
2.(2020·衢州高一检测)已知平面向量a=(sin θ,2 019),b=(cs θ,2 020),若a∥b,则tan θ=(　　)
3.已知向量a=(1,λ),b=(λ,2),若 则λ=________. 【思路导引】1.可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的,由此关系对四个选项作出判断,得出正确选项.2.利用向量共线的充要条件列出等量关系,结合同角三角函数关系式求值.3.利用向量共线的充要条件列出关于λ的方程,求λ.
【解析】1.选B.对于A,因为1×(-4)-2×(-2)=0,所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底;对于B,因为3×3-4×4=-7≠0,所以可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底;对于C,因为2×1-(-1)×(-2)=0,所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底;对于D,因为3×10-5×6=0,所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底.2.选A.因为平面向量a=(sin θ,2 019),b=(cs θ,2 020),a∥b,所以2 020sin θ-2 019cs θ=0,所以 所以tan θ=
3.a+b=(λ+1,λ+2),a-b=(1-λ,λ-2),因为 所以(λ+1)(λ-2)-(λ+2)(1-λ)=0,解得λ=± .答案:±
【解题策略】1.向量共线的判定方法
2.利用向量共线求参数值的方法
【跟踪训练】(2020·黄山高一检测)已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量 共线的单位向量是(　　)A.(3,-4)B. C.(-6,8)D.
【解析】选B.因为 =(7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共线的条件可知,A,B,C选项中的向量均与 共线,但A,C中向量不是单位向量,所以B选项正确.
类型二　向量平行在平面几何中的应用(逻辑推理、数学运算)　角度1　三点共线问题 【典例】(2020·玉溪高一检测)已知O为坐标原点, =(1,1), =(3,-1), =(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系.(2)若 =2 ,求点C的坐标.
【思路导引】(1)由题意利用两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算法则,求得a,b的关系.(2)由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,求出点C的坐标.
【解析】(1)因为已知 =(1,1), =(3,-1), =(a,b),若A,B,C三点共线,则 ∥ ,即 =λ· ,即(a-1,b-1)=λ (2,-2),所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.(2)若 =2 ,(a-1,b-1)=2(2,-2),所以a=5,b=-3,所以点C的坐标为(5,-3).
【变式探究】　把本例条件改为“向量 =(k,12), =(4,5), =(10,k)”,求当k为何值时,A,B,C三点共线.
【解析】方法一:因为A,B,C三点共线,即 与 共线,所以存在实数λ(λ∈R),使得 =λ .因为 =(4-k,-7), =(10-k,k-12),所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即 解得k=-2或k=11.所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
方法二:由已知得 与 共线,因为 =(4-k,-7), =(10-k,k-12),所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
　角度2　求点的坐标 【典例】如图所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3), AD与BC相交于点M,求点M的坐标.【思路导引】利用 列方程组求点M的坐标.
【解析】因为 (0,5)= 所以C 因为 所以D 设M(x,y),则 =(x,y-5),因为 所以- x-2(y-5)=0,
即7x+4y=20①.又 因为 所以 即7x-16y=-20②,联立①②解得x= ,y=2,故点M的坐标为
【解题策略】应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
【题组训练】1.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一条直线上,则C点的坐标不可能是(　　)A.(-9,6)B.(-1,-2)C.(-7,-2)D.(6,-9)
【解析】选C.设C(x,y),则 =(x-3,y+6), =(-8,8).因为A,B,C三点在同一条直线上,所以 即x+y+3=0,将四个选项分别代入x+y+3=0验证可知,不可能的是C.
2.设 =(2,-1), =(3,0), =(m,3).(1)当m=8时,将 用 和 表示;(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
【解析】(1)当m=8时, =(8,3),设 =x +y ,则x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x)=(8,3),所以 所以 所以 =-3 +
(2)因为A,B,C三点能构成三角形,所以 不共线,又 =(1,1), =(m-2,4),所以1×4-1×(m-2)≠0,所以m≠6.
【拓展延伸】　　如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)的点,且满足 =λ,即 证明点P的坐标为
　【证明】设点P(x,y),由 ,得(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即 又λ∈(0,+∞),所以 则点P的坐标为 特别地,当λ=1时,点P的坐标为 这就是线段P1P2的中点坐标公式.
【拓展训练】　已知A(2,1),B(3,-1),点P(x,y)在直线AB上,且满足4x-y-5=0,求P点分 的比λ.【解析】由 =λ 及定比分点坐标公式得:(x,y)= 又因为P点满足4x-y-5=0,所以4× 所以λ=- .
【补偿训练】如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.
【解析】方法一:设 =t(4,4)=(4t,4t),则 =(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), =(2,6)-(4,0)=(-2,6).由 共线知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得t= .所以 =(4t,4t)=(3,3).所以P点坐标为(3,3).
方法二:设P(x,y),则 =(x,y), =(4,4).因为 , 共线,所以4x-4y=0.①又 =(x-2,y-6), =(2,-6),且向量 , 共线,所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②解①②组成的方程组,得x=3,y=3,所以点P的坐标为(3,3).
1.下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)A.a=(0,0),b=(1,-2)B.a=(-1,2),b=(5,7)C.a=(-1,5),b=(2,-10)D.a=(2,-3),b=(4,-6)
【解析】选B.A中,a=(0,0)与b=(1,-2)共线,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底;C中a=(-1,5)与b=(2,-10)=-2a共线,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底;D中a=(2,-3)与b=(4,-6)=2a共线,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底.
2.已知向量a=(-1,m),b=(-m,2m+3),且a∥b,则m等于(　　)A.-1　　　B.-2　　　C.-1或3　　　D.0或-2【解析】选C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.
3.已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3),若 =3a,则点B的坐标为________. 【解析】设O为坐标原点,因为 =(-1,-5), =3a=(6,9),故 =(5,4),故点B的坐标为(5,4).答案:(5,4)
4.向量a=(n,1)与b=(4,n)共线且方向相同,则n=________. 【解析】因为a∥b,所以n2-4=0,所以n=2或n=-2,又a与b方向相同,所以n=2.答案:2
5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).若D(m,2m),且 共线,求非零实数m的值.【解析】因为A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),D(m,2m),所以 =(3,5), =(m+2,2m+1),又因为 与 共线,即 ∥ ,所以3(2m+1)=5(m+2),解得m=7,所以非零实数m的值为7.
【补偿训练】　　　已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
【解析】方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b).即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),所以 解得k=λ=- .当k=- 时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=- a+b=- (a-3b),因为λ=- <0,所以ka+b与a-3b反向.