高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.2 向量运算优秀复习练习题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.2 向量运算优秀复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝( )


A．0 B．1 C．－1 D．±1


D [∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，


∴e1·e2＝|e1||e2|cs θ＝±1.]


2．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝( )


A．eq \f(2,5) B．eq \f(3,5) C．－eq \f(3,5) D．±eq \f(3,5)


D [(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±eq \f(3,5).]


3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝( )


A．－eq \f(1,2)B．0


C．eq \f(1,2)D．1


C [∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，


∴a·b＝|a||b|cs 120°＝－eq \f(1,2).


又a·a＝|a|2＝1，


∴a·a＋a·b＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).]


4．在△ABC中，|eq \(AB,\s\up8(→))|＝13，|eq \(BC,\s\up8(→))|＝5，|eq \(CA,\s\up8(→))|＝12，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))的值是( )


A．－25B．25


C．－60D．60


A [∵|eq \(AB,\s\up8(→))|＝13，|eq \(BC,\s\up8(→))|＝5，|eq \(CA,\s\up8(→))|＝12，


∴|eq \(AB,\s\up8(→))|2＝|eq \(BC,\s\up8(→))|2＋|eq \(CA,\s\up8(→))|2，


∴△ABC为直角三角形．


又cs∠ABC＝eq \f(5,13)，


∴eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs(π－∠ABC)


＝13×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＝－25.]


5．设点A，B，C不共线，则“eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(AC,\s\up8(→))的夹角为锐角”是“|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|>|eq \(BC,\s\up8(→))|”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分也不必要条件


C [eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(AC,\s\up8(→))的夹角为锐角，所以|eq \(AB,\s\up8(→))|2＋|eq \(AC,\s\up8(→))|2＋2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))>|eq \(AB,\s\up8(→))|2＋|eq \(AC,\s\up8(→))|2－2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))，


即|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|2>|eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))|2，因为eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))，


所以|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|>|eq \(BC,\s\up8(→))|；


当|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|>|eq \(BC,\s\up8(→))|成立时，|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|2>|eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))|2⇒eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))>0，又因为点A，B，C不共线，所以eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(AC,\s\up8(→))的夹角为锐角．故“eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(AC,\s\up8(→))的夹角为锐角”是“|eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))|>|eq \(BC,\s\up8(→))|”的充分必要条件，故选C．]


二、填空题


6．(一题两空)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)＝12，则|b|＝________；b在a方向上的投影向量等于________．


eq \r(2) eq \f(a,4) [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)＝a2＋eq \f(1,2)a·b－3b2＝12，即3|b|2－eq \r(2)|b|－4＝0，


解得|b|＝eq \r(2)(舍负)，b在a方向上的投影是(|b|cs 45°)eq \f(a,|a|)＝eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(a,4)＝eq \f(a,4).]


7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．


4 [由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.


又(a－b)·c＝0，


∴(a－b)·(－a－b)＝0，


即a2＝b2.


则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，


∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.]


8．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq \r(3)，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则eq \(BD,\s\up8(→))·eq \(AE,\s\up8(→))＝________.


－1 [在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则eq \(BD,\s\up8(→))·eq \(AE,\s\up8(→))＝(eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))·(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BE,\s\up8(→)))＝eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(BE,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))2－eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BE,\s\up8(→))＝5×2eq \r(3)×cs 30°＋5×2×cs 180°－12－2eq \r(3)×2×cs 150°＝15－10－12＋6＝－1.]


三、解答题


9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.


(1)求|a＋b|；


(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．


[解] (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，


∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.


∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，


∴|a＋b|＝eq \r(|a|2＋|b|2＋2a·b)


＝eq \r(42＋32＋2×－6)＝eq \r(13).


(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，


∴向量a在向量a＋b方向上的投影为eq \f(a·a＋b,|a＋b|)＝eq \f(10,\r(13))＝eq \f(10\r(13),13).


10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？


[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，


∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)


＝keeq \\al(2,1)＋keeq \\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2


＝2k＞0，


∴k＞0.


但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．


综上，k的取值范围为{k|k＞0且k≠1}．





1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )


A．－8 B．8 C．－6 D．6


B [由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cs θ＝－eq \f(3,5)，sin θ＝eq \f(4,5)，∴|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×eq \f(4,5)＝8.]


2. (多选题)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))＝0，且|eq \(OA,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))|，下列结论正确的是( )


A．eq \(CA,\s\up8(→))在eq \(CB,\s\up8(→))方向上的投影向量为－eq \f(\r(3),3)eq \(CB,\s\up8(→))


B．eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))


C．eq \(CA,\s\up8(→))在eq \(CB,\s\up8(→))方向上的投影向量为eq \f(\r(3),3)eq \(CB,\s\up8(→))


D．eq \(OB,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))


BCD [由eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))＝0得eq \(OB,\s\up8(→))＝－eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(CA,\s\up8(→))，所以四边形OBAC为平行四边形．又O为△ABC外接圆的圆心，所以|eq \(OB,\s\up8(→))|＝|eq \(OA,\s\up8(→))|，又|eq \(OA,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))|，所以△OAB为正三角形．因为△ABC的外接圆半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以∠ACB＝eq \f(π,6)，|eq \(CB,\s\up8(→))|＝2eq \r(3)，所以eq \(CA,\s\up8(→))在eq \(CB,\s\up8(→))上的投影向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|\(CA,\s\up8(→))|cs\f(π,6)))eq \f(\(CB,\s\up8(→)),|\(CB,\s\up8(→))|)＝eq \r(3)×eq \f(\(CB,\s\up8(→)),3)＝eq \f(\r(3),3)eq \(CB,\s\up8(→))，故C正确．因为eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝－2，eq \(OB,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝2，故BD正确．]


3．非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a，b的夹角为________．


eq \f(2π,3) [由|a|＝|b|＝|a＋b|，所以|a|2＝|a＋b|2，


所以|a|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，得a·b＝－eq \f(1,2)|b|2，


所以a·b＝|a|·|b|cs θ＝－eq \f(1,2)|b|2，


所以cs θ＝－eq \f(1,2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(2π,3).]


4．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(BE,\s\up8(→))＝1，则AB的长为________．


eq \f(1,2) [设|eq \(AB,\s\up8(→))|＝x(x＞0)，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)x，


所以eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(BE,\s\up8(→))＝(eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up8(→))－\f(1,2)\(AB,\s\up8(→))))＝1－eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,4)x＝1，解得x＝eq \f(1,2)，即AB的长为eq \f(1,2).]


5．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.


(1)求证：(a－b)⊥c；


(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．


[解] (1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，


∴(a－b)·c＝a·c－b·c


＝|a||c|cs 120°－|b||c|cs 120°＝0，∴(a－b)⊥c.


(2)∵|ka＋b＋c|＞1，∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，


即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1.


∵a·c＝a·b＝b·c＝cs 120°＝－eq \f(1,2)，


∴k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.


即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．