苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示精品同步练习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示精品同步练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，下列选项中正确的是( )


A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)


B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2


C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O


D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)


A [由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故D错误．]


2．已知点A＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0))，B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，2))，向量eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1))，则向量eq \(BC,\s\up8(→))＝( )


A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1))


C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))


A [依题意eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，2)，所以eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，1)－(2，2)＝(0，－1)，故选A．]


3．若向量eq \(BA,\s\up8(→))＝(2，3)，eq \(CA,\s\up8(→))＝(4，7)，则eq \(BC,\s\up8(→))＝( )


A．(2，4)B．(2，－4)


C．(－2，4)D．(－2，－4)


D [eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(BA,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))


＝eq \(BA,\s\up8(→))－eq \(CA,\s\up8(→))


＝(2，3)－(4，7)


＝(－2，－4)．]


4．已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若eq \(AB,\s\up8(→))＝3a，则点B的坐标为( )


A．(5，14)B．(5，4)


C．(7，14)D．(7，4)


A [设B点坐标为(x，y)，则eq \(AB,\s\up8(→))＝(x＋1，y－5)，


∵eq \(AB,\s\up8(→))＝3a，∴(x＋1，y－5)＝3(2，3)＝(6，9)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝6，,y－5＝9，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝14.))]


5．若向量a＝(x＋3，y－4)与eq \(AB,\s\up8(→))相等，已知A(1，2)和B(3，2)，则x，y的值分别为( )


A．1，4B．－1，4


C．1，－4D．－1，－4


B [∵eq \(AB,\s\up8(→))＝(3，2)－(1，2)＝(2，0)＝(x＋3，y－4)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝2，,y－4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝4.))]


二、填空题


6．(一题两空)已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝____________，b＝________.


(3，5) (－2，－2) [由a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，


∴2a＝(1，3)＋(5，7)＝(6，10)，∴a＝(3，5)，


2b＝(1，3)－(5，7)＝(－4，－4)，∴b＝(－2，－2)．]


7.如图，已知O是坐标原点，点A在第二象限，|eq \(OA,\s\up8(→))|＝2，∠xOA＝150°，则向量eq \(OA,\s\up8(→))的坐标为________．





(－eq \r(3)，1) [过点A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C，设A(x，y)，





则x＝|eq \(OA,\s\up8(→))|cs 150°＝－eq \r(3)，


y＝|eq \(OA,\s\up8(→))|sin 150°＝1.


所以eq \(OA,\s\up8(→))的坐标为(－eq \r(3)，1)．]


8．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq \(MP,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up8(→))，则P点的坐标为________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2))) [设P(x，y)，则


eq \(MP,\s\up8(→))＝(x－3，y＋2)，


eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(－8，1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(1,2)))，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(3,2)，))


∴P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(3,2))).]


三、解答题


9．(1)已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq \(AB,\s\up8(→))相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求x的值；


(2)已知点P1(2，－1)，P2(0，5)，点P在线段P1P2上且|eq \(P1P,\s\up8(→))|＝2|eq \(PP2,\s\up8(→))|，求P点的坐标．


[解] (1)∵eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，0)，又∵a＝eq \(AB,\s\up8(→))，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，))∴x＝－1.


(2)设P(x，y)，则eq \(P1P,\s\up8(→))＝(x－2，y＋1)，


eq \(PP2,\s\up8(→))＝(－x，5－y)，


∵点P在线段P1P2上且|eq \(P1P,\s\up8(→))|＝2|eq \(PP2,\s\up8(→))|，


∴eq \(P1P,\s\up8(→))＝2eq \(PP2,\s\up8(→))，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝－2x，,y＋1＝25－y，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,3)，,y＝3，))


∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3)).


10．已知四边形ABCD的顶点坐标为Aeq (4，－1)，Beq (3，4)，Deq (1，－2)，且eq \(AB,\s\up8(→))＝λeq \(DC,\s\up8(→))(λ>0)．


(1)若点C在第一象限，求实数λ的取值范围；


(2)若点M为直线AC外一点，且eq \(MP,\s\up8(→))＝eq \f(2,5)eq \(MA,\s\up8(→))＋eq \f(3,5)eq \(MC,\s\up8(→))，问实数λ为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点．


[解] (1)因为Aeq (4，－1)，Beq (3，4)，所以eq \(AB,\s\up8(→))＝eq (－1，5)，


设点C的坐标为eq (x，y)，则eq \(DC,\s\up8(→))＝eq (x－1，y＋2)，


而eq \(AB,\s\up8(→))＝λeq \(DC,\s\up8(→))(λ>0)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ (x－1)＝－1，,λ (y＋2)＝5，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(1,λ)，,y＝\f(5,λ)－2.))


因为点C在第一象限，所以1<λ

(2)由eq \(MP,\s\up8(→))＝eq \f(2,5)eq \(MA,\s\up8(→))＋eq \f(3,5)eq \(MC,\s\up8(→))得2(eq \(MP,\s\up8(→))－eq \(MA,\s\up8(→)))＝3(eq \(MC,\s\up8(→))－eq \(MP,\s\up8(→)))，即2eq \(AP,\s\up8(→))＝3eq \(PC,\s\up8(→))，


若点P恰为四边形ABCD对角线的交点且eq \(AB,\s\up8(→))＝λeq \(DC,\s\up8(→))(λ>0)，


根据三角形相似得到eq \(AP,\s\up8(→))＝λeq \(PC,\s\up8(→))，所以λ＝eq \f(3,2).





1．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2eq \r(2)，且∠AOC＝eq \f(π,4).设eq \(OC,\s\up8(→))＝λeq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))(λ∈R)，则λ＝( )


A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3) C．eq \f(3,4) D．eq \f(3,5)


B [过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝eq \f(π,4)知，|OE|＝|CE|＝2，所以eq \(OC,\s\up8(→))＝eq \(OE,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))＝λeq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(OB,\s\up8(→))，即eq \(OE,\s\up8(→))＝λeq \(OA,\s\up8(→))，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝eq \f(2,3).


]


2．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为________．


(0，2) [因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，


令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))


所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．]


3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，4)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(1，3)，则eq \(BD,\s\up8(→))＝________.


(－3，－5) [由向量的平行四边形法则可知


eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))，


∴eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))


＝(1，3)－(2，4)


＝(－1，－1)，


∴eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))


＝(－1，－1)－(2，4)


＝(－3，－5)．]


4．已知向量集合M＝{a|a＝(1，2)＋λ1(3，4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4，5)，λ2∈R}，则M∩N等于________．


{(－2，－2)} [令(1，2)＋λ1(3，4)


＝(－2，－2)＋λ2(4，5)，


即(1＋3λ1，2＋4λ1)


＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋3λ1＝－2＋4λ2，,2＋4λ1＝－2＋5λ2，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝－1，,λ2＝0，))


故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．]


5．在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．


(1)若eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(PB,\s\up8(→))＋eq \(PC,\s\up8(→))＝0，求eq \(OP,\s\up8(→))的坐标；


(2)若eq \(OP,\s\up8(→))＝meq \(AB,\s\up8(→))＋neq \(AC,\s\up8(→))(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求m－n.


[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，因为eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(PB,\s\up8(→))＋eq \(PC,\s\up8(→))＝0，


又eq \(PA,\s\up8(→))＋eq \(PB,\s\up8(→))＋eq \(PC,\s\up8(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)．


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2.))


所以点P的坐标为(2，2)，故eq \(OP,\s\up8(→))＝(2，2)．


(2)设点P的坐标为(x0，y0)，


因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，


所以eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，


eq \(AC,\s\up8(→))＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，


因为eq \(OP,\s\up8(→))＝meq \(AB,\s\up8(→))＋neq \(AC,\s\up8(→))，


所以(x0，y0)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝m＋2n，,y0＝2m＋n，))


两式相减得m－n＝y0－x0，


又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，


所以y0－x0＝1，所以m－n＝1.