高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理综合训练题

第六章6.2　向量基本定理与向量的坐标

6.2.1　向量基本定理

A级 必备知识基础练

1.[探究点一]已知e1,e2是不共线的非零向量,则以下向量可以组成基底的是(　　)

A.a=0,b=e1+e2

B.a=3e1+3e2,b=e1+e2

C.a=e1-2e2,b=e1+e2

D.a=e1-2e2,b=2e1-4e2

2.[探究点二]在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　)

A.3m-2n B.-2m+3n

C.3m+2n D.2m+3n

3.[探究点二](多选题)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且=3,F为AE的中点,则(　　)

A.=-

B.

C.=-

D.

4.

[探究点二]如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,F为DE的中点.若=m+n,则=　　　　　. 

5.[探究点三]如图,在△ABC中,,P是线段BD上一点.若=m,则实数m的值为　　　　　. 

6.[探究点二]设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1=　　　　　,λ2=　　　　　. 

7.

[探究点一、二、三]已知在△OAB中,点D在线段OB上,且OD=2DB,延长BA到C,使BA=AC.设=a,=b.

(1)用a,b表示向量;

(2)若向量+k共线,求实数k的值.

B级 关键能力提升练

8.已知a,b为非零不共线向量,向量8a-kb与-ka+b共线,则k=(　　)

A.2 B.-2 

C.±2 D.8

9.[2023广东韶关高一]在△ABC中,,P是BN上一点,若=t,则实数t的值为 (　　)

A. B. C. D.

10.(多选题)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　)

A. B.

C. D.

11.如图,A,B,C,D为平面内的四个点,,E为线段BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　. 

12.[2023湖北襄阳高一]如图所示,在△ABC中,F为BC边上一点,2=a,=b.

(1)用向量a,b表示;

(2)若3,连接DF并延长,交AC于点E,=λ,=μ,求λ和μ的值.

C级 学科素养创新练

13.如图所示,在▱ABCD中,AD,DC边的中点分别为E,F,连接BE,BF,与AC分别交于点R,T.求证:AR=RT=TC.

参考答案

6.2　向量基本定理与向量的坐标

6.2.1　向量基本定理

1.C　对于A,零向量与任意向量均共线,所以此两个向量不可以组成基底;对于B,因为a=3e1+3e2,b=e1+e2,所以a=3b,所以此两个向量不可以组成基底;对于C,设a=λb,即e1-2e2=λ(e1+e2),则无解,所以此两个向量不共线,可以组成一组基底;对于D,因为a=e1-2e2,b=2e1-4e2,所以a=b,所以此两个向量不可以组成基底.故选C.

2.B　因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,即=2(),

所以=3-2=3n-2m=-2m+3n.故选B.

3.ABC　∵AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,

∴=-=-,A正确;

∵=3,∴=-,

∴,又F为AE的中点,∴,B正确;

=-=-,C正确;

=-=-,D错误.

4.)=.

∵=m+n,∴m=,n=,∴.

5.　设=λ(λ∈R),∵,∴,

∴+λ+λ()=(1-λ).

∵=m,∴解得

6.-　由题意知,D为AB的中点,,

∴),∴,

∴=-,∴λ1=-,λ2=.

7.解(1)∵A为BC的中点,∴),

∴=2=2a-b,

∴=2a-b.

(2)由(1)得+k=(2k+1)a-kb.

∵+k共线,设=λ(+k),λ∈R,

即2a-b=λ(2k+1)a+b,

根据平面向量基本定理,得

解得k=.

8.C　∵向量8a-kb与-ka+b共线,∴存在实数λ,使得8a-kb=λ(-ka+b),即8a-kb=-kλa+λb.又a,b为非零不共线向量,∴解得k=±2.故选C.

9.D　,又因为,

所以,即,

所以=t=t.

因为P,B,N三点共线,所以t+=1,

解得t=.

故选D.

10.ABD　,故A正确;

)+,故B正确;

=-,故C错误;

=-,故D正确.

故选ABD.

11.　因为,即,所以2.

又E为线段BC的中点,所以)=,所以λ=,μ=,则λ+μ=.

12.解(1)因为2,

所以2()=,即3=2,

所以a+b.

(2)若=λ,=μ,则=μ=λ,

所以=λ(),

=(1-λ)+λ=4(1-λ)+λμ=4(1-λ)a+λμb.

由于a+b,

所以4(1-λ)=,λμ=,解得λ=,μ=.

13.证明设=a,=b,=r,=t,则=a+b.因为共线,所以存在实数n,使得r=n(a+b).

因为共线,所以存在实数m,使得=m.

而=a-b,则=m.

因为,

所以n(a+b)=b+m,

即(n-m)a+b=0.

因为向量a,b不共线,于是有

解得m=n=,所以.

同理.

所以,故AR=RT=TC.