苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示课时训练

9.3.3　向量平行的坐标表示

基础过关练

题组一　向量平行的坐标表示

1.已知向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则实数m的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.-1

C.-4 D.4

2.若a=(2cos α,1),b=(sin α,1),且a∥b,则tan α等于(　　)

A.2 B. C.-2 D.-

3.已知A、B、C三点在一条直线上,且A(3,-6),B(-5,2),若点C的横坐标为6,则点C的纵坐标为(　　)

A.-13 B.9 C.-9 D.13

4.设向量a与向量b垂直,且a=(2,k),b=(6,4),则下列向量与向量a+b共线的是(　　)

A.c=(1,8) B.c=(-16,-2)

C.c=(1,-8) D.c=(-16,2)

5.(多选)(2020江苏无锡高一上学期期末)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量平行的单位向量e=(　　)

A. B.

C. D.

6.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时是同向还是反向?

7.(2020江苏南京高一上学期期末)已知向量a=(2,m),b=(m-1,6).

(1)若a∥b,求实数m的值;

(2)若|a+b|=|a-b|,求实数m的值.

题组二　向量平行的坐标表示的应用

8.已知向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b(　　)

A.平行于第一、三象限的角平分线

B.平行于y轴

C.平行于第二、四象限的角平分线

D.平行于x轴

9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+的值等于(　　)

A.1 B. C. D.

10.已知△ABC的顶点A(2,3)和重心G(2,-1),求BC边中点的坐标.

11.已知点O(0,0),A(1,2),B(3,4),且=+t.

(1)若点P在第二象限,求t的取值范围;

(2)四边形OABP能否为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.

能力提升练

题组　向量平行的坐标表示及应用

1.()若向量a=(x,2),b=,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d=(　　)

A. B.

C.(1,2) D.(-1,-2)

2.()已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(a+c)∥b,c⊥(a+b),则c=(　　)

A. B.

C. D.

3.(2020湖北部分重点中学高三上学期期末考试,)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(　　)

A.4 B.6 C.8 D.9

4.()已知向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角是90°,若2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围是(　　)

A.(-∞,0)

B.∪

C. 

D.

5.(2020江苏滨海中学高一下学期期中,)已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.

6.(2020江苏前黄高级中学、溧阳中学高一上学期联考,)若a=(2cos α,1),b=(sin α-,-1),且a∥b,则tan α=　　　　.

7.()已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则点D的坐标为　　　　.

8.()平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且=,连接DC并延长至点E,使||=||,求点E的坐标.

9.()已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).

(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y应满足的条件;

(2)若=2,求x,y的值.

10.(2020江苏盐城滨海高一上学期期末,)在平面直角坐标系中,已知A(-1,2),B(3,4),C(2,1).

(1)若O为坐标原点,是否存在实数t,使得+t=成立?

(2)已知在梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2CD,求点D的坐标;

(3)若点E满足||=1,且·=1,求点E的坐标.

答案全解全析

9.3.3　向量平行的坐标表示

基础过关练

1.C　∵a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,

∴1×m=2×(-2),解得m=-4.

2.A　∵a∥b,∴2cos α×1=sin α×1,∴tan α=2.

3.C　由题意得=(-8,8),设点C的坐标为(6,y),则=(3,y+6).

∵A、B、C三点共线,∴=,∴y=-9.

4.B　因为向量a与向量b垂直,所以a·b=2×6+4k=0,解得k=-3,则a=(2,-3),

所以a+b=(8,1),易知向量c=(-16,-2)与向量a+b共线.

5.AC　由题意得=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=,-.与反方向的单位向量为-=-(3,-4)=.故选AC.

6.解析　解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).

若ka+b与a-3b平行,

则存在λ∈R,使得ka+b=λ(a-3b),

即(k-3,2k+2)=λ(10,-4)=(10λ,-4λ),

即解得k=λ=-,

此时ka+b=-(a-3b),

所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且ka+b与a-3b反向.

解法二:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).

若ka+b与a-3b平行,

则-4(k-3)=10(2k+2),解得k=-,

此时ka+b=-(a-3b),

所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且ka+b与a-3b反向.

7.解析　(1)因为a∥b,所以2×6-m(m-1)=0,解得m=-3或m=4.

(2)将|a+b|=|a-b|两边平方得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,所以a·b=0,即2(m-1)+6m=0,解得m=.

8.B　由题意得a+b=(0,1+x2),y轴的单位向量j=(0,1),则a+b=(1+x2)j,∴向量a+b平行于y轴.

9.B　由题意得=(a-2,-2),=(-2,b-2),由A,B,C三点共线得∥,则(a-2)·(b-2)-4=0,即ab-2a-2b=0,所以+=,故选B.

10.解析　由题意得=(0,-4),设BC边的中点为D(x,y),则=(x-2,y+1),

易知=2,即(0,-4)=2(x-2,y+1),

∴解得

故BC边中点的坐标为(2,-3).

11.解析　(1)因为=+t=(1,2)+t(2,2)=(2t+1,2t+2),所以点P的坐标为(2t+1,2t+2).

由题意得解得-1<t<-.

(2)不能.理由如下:

若四边形OABP是平行四边形,则∥,

由(1)知=(2,2),=(2t+1,2t+2),则2(2t+2)=2(2t+1),无实数解,

所以四边形OABP不是平行四边形.

能力提升练

1.D　由题意得c=a+2b=(x,2)+(1,2)=(x+1,4),

d=2a-b=(2x,4)-=,

∵c∥d,∴3(x+1)=4,解得x=1,

∴c=(2,4),d=,

∴c-2d=(2,4)-(3,6)=(-1,-2).

2.D　设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),

∵(a+c)∥b,∴-3(1+m)=2(2+n).

∵a+b=(3,-1),c⊥(a+b),

∴3m-n=0,∴m=-,n=-,

故c=.

3.C　=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),

∵A,B,C三点共线,∴∥,

∴2(a-1)=-b-1,∴2a+b=1,

又a>0,b>0,∴+=(2a+b)=2+2++≥4+2=8,

当且仅当即a=,b=时取等号,故+的最小值为8,故选C.

4.B　由已知可得=4,=1,e1·e2=2×1×cos 90°=0,

∵2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,

∴(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,

从而得到15t<0,即t<0,

当2te1+7e2与e1+te2共线时,可设2te1+7e2=a(e1+te2)(a∈R),

∵e1,e2不共线,∴解得t=±,

∴当2te1+7e2与e1+te2不共线时,t≠±.

综上可得t<0且t≠-,即实数t的取值范围是∪.

5.答案　(3,3)

解析　解法一:由O,P,B三点共线,

可设=λ=(4λ,4λ)(λ∈R),

则=-=(4λ-4,4λ).

又=-=(-2,6),与共线,

所以(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,

所以=(3,3),

所以点P的坐标为(3,3).

解法二:设点P的坐标为(x,y),则=(x,y),

因为=(4,4),且与共线,

所以=,即x=y.

又=(x-4,y),=(-2,6),与共线,

所以(x-4)×6-y×(-2)=0,所以x=y=3,

所以点P的坐标为(3,3).

6.答案　

解析　∵a∥b,

∴2cos α×(-1)-1×(sin α-)=0,

∴sin α+2cos α=,

∴sin2α+4sin αcos α+4cos2α=5.

∵sin2α+cos2α=1,

∴=5,

∴=5,

整理得4tan2α-4tan α+1=0,

即(2tan α-1)2=0,

∴tan α=.

7.答案　

解析　设点D的坐标为(x,y),

∵AD是BC边上的高,∴AD⊥BC,∴⊥.

∵C,B,D三点共线,∴∥.又=(x-2,y-1),=(-6,-3),=(x-3,y-2),

∴解得

∴点D的坐标为.

8.解析　∵=,

∴A为BC的中点,=,

设C(xC,yC),则(xC-2,yC+1)=(1,-5),

得解得

∴点C的坐标为(3,-6),

又||=||,且E在DC的延长线上,

∴=-.

设E(x,y),

则(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y),

得解得

故点E的坐标是.

9.解析　(1)因为点A,B,C不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,所以∥.

由题意得=(3,1),=(2-x,1-y),

所以3(1-y)=2-x,即x-3y+1=0.

所以x,y满足的条件为x-3y+1=0.

(2)由题意得=(-x-1,-y),

由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),

所以解得

即x,y的值分别为-4,-1.

10.解析　(1)假设存在实数t使得+t=成立,

则(3t-1,4t+2)=(2,1),

可得无实数解,

因此不存在实数t,使得+t=成立.

(2)设点D的坐标为(x,y),由题意得=2,即(4,2)=2(2-x,1-y),

可得解得

因此,点D的坐标为(0,0).

(3)设点E的坐标为(a,b),

则=(a+1,b-2),

由

可得

解得或

故点E的坐标为(-2,2)或.