高中9.3 向量基本定理及坐标表示精品练习题

这是一份高中9.3 向量基本定理及坐标表示精品练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于( )


A．14 B．11 C．10 D．5


B [a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)，


∴(a＋b)·(a－c)＝2×4＋(－1)×(－3)＝11.]


2．已知eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，3)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(3，t)，|eq \(BC,\s\up8(→))|＝1，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝( )


A．－3B．－2


C．2D．3


C [因为eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝(1，t－3)，所以|eq \(BC,\s\up8(→))|＝eq \r(1＋t－32)＝1，解得t＝3，所以eq \(BC,\s\up8(→))＝(1，0)，所以eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝2×1＋3×0＝2，故选C．]


3．已知向量a＝(1，1)，2a＋b＝(4，2)，则向量a，b的夹角为( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,2) D．eq \f(3π,4)


B [由于2a＋b＝(4，2)，则b＝(4，2)－2a＝(2，0)，


则a·b＝2，|a|＝eq \r(2)，|b|＝2.


设向量a，b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\r(2),2).


又θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,4).]


4．已知O是坐标原点，A，B是坐标平面上的两点，且向量eq \(OA,\s\up8(→))＝(－1，2)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(3，m)．若△AOB是直角三角形，则m＝( )


A．eq \f(3,2)B．2


C．4 D．eq \f(3,2)或4


D [在Rt△AOB中，eq \(AB,\s\up8(→))＝(4，m－2)，


若∠OAB为直角时，eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝0，可得m＝4；


若∠AOB为直角时，eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，可得m＝eq \f(3,2)；


若∠OBA为直角时，无解．]


5．以原点O及点A(5，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使A＝90°，则eq \(AB,\s\up8(→))的坐标为( )


A．(－2，5)或(2，－5)B．(－2，5)


C．(2，－5)D．(－2，－5)或(2，5)


A [设eq \(AB,\s\up8(→))＝(x，y)，由|eq \(OA,\s\up8(→))|＝|eq \(AB,\s\up8(→))|，得eq \r(52＋22)＝eq \r(x2＋y2).①


由eq \(OA,\s\up8(→))⊥eq \(AB,\s\up8(→))，得5x＋2y＝0②


联立①②，解得x＝－2，y＝5或x＝2，y＝－5.


故eq \(AB,\s\up8(→))＝(－2，5)或eq \(AB,\s\up8(→))＝(2，－5)．]


二、填空题


6．已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2eq \(BE,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))，设向量eq \(AE,\s\up8(→))，eq \(BD,\s\up8(→))的夹角为θ，则cs θ＝________.


－eq \f(\r(10),10) [因为2eq \(BE,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，


则|eq \(AE,\s\up8(→))|＝eq \r(5)，|eq \(BD,\s\up8(→))|＝2eq \r(2)，eq \(AE,\s\up8(→))·eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\f(1,2)\(AD,\s\up8(→))))·(eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))＝eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up8(→))|2－|eq \(AB,\s\up8(→))|2＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)×22－22＝－2，所以cs θ＝eq \f(\(AE,\s\up8(→))·\(BD,\s\up8(→)),|\(AE,\s\up8(→))||\(BD,\s\up8(→))|)＝eq \f(－2,\r(5)×2\r(2))＝－eq \f(\r(10),10).]


7．已知a＝(4，2)，则与a垂直的单位向量b＝________.


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))) [设b＝(x，y)，


则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1，,4x＋2y＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(5),5)，,y＝\f(－2\r(5),5)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(5),5)，,y＝\f(2\r(5),5).))]


8．已知eq \(OA,\s\up8(→))＝(2，2)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(4，1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BP,\s\up8(→))有最小值，则P点的坐标为________．


(3，0) [设P(x，0)，所以eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BP,\s\up8(→))＝(x－2，－2)·(x－4，－1)＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，当x＝3时，eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BP,\s\up8(→))有最小值，此时P(3，0)．]


三、解答题


9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．


(1)求a与b的夹角的余弦；


(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．


[解] (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，


|a|＝eq \r(42＋32)＝5，|b|＝eq \r(－12＋22)＝eq \r(5)，


∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2,5\r(5))＝eq \f(2\r(5),25).


(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，


又(a－λb)⊥(2a＋b)，


∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝eq \f(52,9).


10．已知eq \(OA,\s\up8(→))＝(4，0)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(2，2eq \r(3))，eq \(OC,\s\up8(→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up8(→))＋λeq \(OB,\s\up8(→))(λ2≠λ)．


(1)求eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))及eq \(OA,\s\up8(→))在eq \(OB,\s\up8(→))上的投影向量；


(2)求|eq \(OC,\s\up8(→))|的最小值．


[解] (1)eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝8，设eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))的夹角为θ，


则cs θ＝eq \f(\(OA,\s\up8(→))·\(OB,\s\up8(→)),|\(OA,\s\up8(→))||\(OB,\s\up8(→))|)＝eq \f(8,4×4)＝eq \f(1,2)，


∴eq \(OA,\s\up8(→))在eq \(OB,\s\up8(→))上的投影向量为(|eq \(OA,\s\up8(→))|cs θ)eq \f(\(OB,\s\up8(→)),|\(OB,\s\up8(→))|)＝4×eq \f(1,2)×eq \f(\(OB,\s\up8(→)),4)＝eq \f(\(OB,\s\up8(→)),2)＝(1，eq \r(3))．


(2)|eq \(OC,\s\up8(→))|2＝(1－λ)2eq \(OA,\s\up8(→))2＋2λ(1－λ)eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＋λ2eq \(OB,\s\up8(→))2＝16λ2－16λ＋16＝16eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋12，


∴当λ＝eq \f(1,2)时，|eq \(OC,\s\up8(→))|取到最小值为2eq \r(3).





1．已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m的值为( )


A．2eq \r(3) B．－eq \r(3) C．0 D．eq \r(3)


D [由题意得|a|＝2，|b|＝eq \r(9＋m2)，a·b＝3＋eq \r(3)m＝2eq \r(9＋m2)cseq \f(π,6)，解得m＝eq \r(3).]


2．已知a＝(4，7)，b＝(－5，－2)，则|a－b|＝( )


A．81B．9eq \r(2)


C．eq \r(26)D．9


B [因为a－b＝(9，9)，所以|a－b|＝eq \r(92＋92)＝9eq \r(2).]


3．(一题两空)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))的值为________；eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(DC,\s\up8(→))的最大值为________．


1 1 [以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．





则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，


设E(1，a)(0≤a≤1)．


所以eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))＝(1，a)·(1，0)＝1，


eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(DC,\s\up8(→))＝(1，a)·(0，1)＝a≤1，


故eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(DC,\s\up8(→))的最大值为1.]


4．窗，古时亦称为牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形Ef GH，且E，f ，G，H分别是Af ，BG，CH，DE的中点，则eq \(AG,\s\up8(→))·eq \(DF,\s\up8(→))的值为________．





0 [如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，





建立直角坐标系. 则Aeq (0，0)，Deq (0，1)，延长Af 与BC交于点I，


tan∠f AB＝eq \f(FB,FA)＝eq \f(1,2)＝eq \f(BI,AB)，故I为BC中点．


直线AI：y＝eq \f(1,2)x，同理可


得：直线GB：y＝－2x＋2，


直线HC：y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)；


解得：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(2,5)))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))，


故eq \(AG,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，\f(4,5)))，eq \(DF,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))，eq \(AG,\s\up8(→))·eq \(DF,\s\up8(→))＝0.]


5．已知eq \(OP,\s\up8(→))＝(2，1)，eq \(OA,\s\up8(→))＝(1，7)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．


(1)求使eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))取得最小值时的eq \(OC,\s\up8(→))；


(2)根据(1)中求出的点C，求cs∠ACB．


[解] (1)因为点C是直线OP上一点，


所以向量eq \(OC,\s\up8(→))与eq \(OP,\s\up8(→))共线，设eq \(OC,\s\up8(→))＝teq \(OP,\s\up8(→))，


则eq \(OC,\s\up8(→))＝(2t，t)．


eq \(CA,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OC,\s\up8(→))＝(1－2t，7－t)，


eq \(CB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OC,\s\up8(→))＝(5－2t，1－t)．


eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)


＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.


当t＝2时，eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))取得最小值，此时eq \(OC,\s\up8(→))＝(4，2)．


(2)当eq \(OC,\s\up8(→))＝(4，2)时，eq \(CA,\s\up8(→))＝(－3，5)，eq \(CB,\s\up8(→))＝(1，－1)，


所以|eq \(CA,\s\up8(→))|＝eq \r(34)，|eq \(CB,\s\up8(→))|＝eq \r(2)，eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))＝－8.


所以cs∠ACB＝eq \f(\(CA,\s\up8(→))·\(CB,\s\up8(→)),|\(CA,\s\up8(→))||\(CB,\s\up8(→))|)＝－eq \f(4\r(17),17).