高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示优秀巩固练习

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示优秀巩固练习，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )


A．(－4，－8) B．(－8，－16)


C．(4，8)D．(8，16)


A [∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，


∴b＝(－2，－4)，


∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)


＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．]


2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x，2)共线，且方向相同，则实数x＝( )


A．1 B．eq \f(3,2) C．eq \r(2) D．eq \r(3)


C [设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx，2λ)，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝－λx，,x＝2λ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)，,λ＝\f(\r(2),2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\r(2)，,λ＝－\f(\r(2),2).))


又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝eq \f(\r(2),2)，x＝eq \r(2).]


3．已知eq \(AB,\s\up8(→))＝(6，1)，eq \(BC,\s\up8(→))＝(x，y)，eq \(CD,\s\up8(→))＝(－2，－3)，eq \(BC,\s\up8(→))∥eq \(DA,\s\up8(→))，则x＋2y的值为( )


A．－1 B．0 C．1 D．2


B [∵eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)


＝(x＋4，y－2)，


∴eq \(DA,\s\up8(→))＝－eq \(AD,\s\up8(→))＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．


∵eq \(BC,\s\up8(→))∥eq \(DA,\s\up8(→))，


∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.]


4．已知点Aeq (1，3)，Beq (－2，7)，则与向量eq \(AB,\s\up8(→))方向相反的单位向量是( )


A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5))) B．eq (3，－4)


C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5)))


D [∵Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，7))，∴eq \(AB,\s\up8(→))＝eq (－3，4)，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))))＝eq \r( (－3)2＋42)＝5，


因此，与向量eq \(AB,\s\up8(→))方向相反的单位向量是－eq \f(\(AB,\s\up8(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→)))))＝－eq \f(1,5)eq (－3，4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).故选D．]


5．若a＝(2cs α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α＝( )


A．1 B．eq \f(3,2) C．2 D．eq \f(5,2)


C [∵a∥b，∴2cs α＝sin α，∴tan α＝2.]


二、填空题


6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且eq \(AB,\s\up8(→))与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.


eq \f(3,2) [设B(x，y)，则由题意可知


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,2)＝3，,\f(－2＋y,2)＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5,y＝4，))∴eq \(AB,\s\up8(→))＝(4，6)．


又eq \(AB,\s\up8(→))∥a，∴4λ＝6，∴λ＝eq \f(3,2).]


7．已知向量eq \(OA,\s\up8(→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up8(→))＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．


m≠eq \f(1,2) [若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，


即eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(AC,\s\up8(→))不共线．


∵eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→))＝(3，1)，


eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→))＝(2－m，1－m)，


∴3(1－m)≠2－m，即m≠eq \f(1,2).]


8．已知两点M(7，8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(10,3))) [设P(x，y)，如图，





∴eq \(MN,\s\up8(→))＝3eq \(MP,\s\up8(→))，


∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6＝3x－7，,－14＝3y－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝\f(10,3).))]


三、解答题


9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．


(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？


(2)若eq \(AB,\s\up8(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up8(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．


[解] (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，


a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．


∵ka－b与a＋2b共线，


∴2(k－2)－(－1)×5＝0，


即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2).


(2)∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up8(→))＝λeq \(BC,\s\up8(→))，λ∈R，


即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝λ，,3＝mλ，))


解得m＝eq \f(3,2).


10．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，求直线AC与BD交点P的坐标．





[解] 设P(x，y)，则eq \(DP,\s\up8(→))＝(x－1，y)，eq \(DB,\s\up8(→))＝(5，4)，eq \(CA,\s\up8(→))＝(－3，6)，eq \(DC,\s\up8(→))＝(4，0)．


由B，P，D三点共线可得eq \(DP,\s\up8(→))＝λeq \(DB,\s\up8(→))＝(5λ，4λ)．


又∵eq \(CP,\s\up8(→))＝eq \(DP,\s\up8(→))－eq \(DC,\s\up8(→))＝(5λ－4，4λ)，


由于eq \(CP,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，


解之得λ＝eq \f(4,7)，∴eq \(DP,\s\up8(→))＝eq \f(4,7)eq \(DB,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,7)，\f(16,7)))，


∴P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,7)，\f(16,7))).





1．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值是( )


A．－eq \f(7,2) B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(4,3) D．－eq \f(8,3)


B [v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v，所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－eq \f(1,2).]


2. (多选题)已知向量eq \(OA,\s\up8(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up8(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )


A．－2 B．eq \f(1,2) C．1 D．－1


ABD [各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD．]


3．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，且(a＋λb)∥c，则λ等于________．


eq \f(1,2) [a＋λb＝(1，2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，


因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝eq \f(1,2).]


4．设a＝(6，3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．


[－1，＋∞) [a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x，∴a＝(x－1)2－1≥－1.]


5．已知向量a＝eq (1，2)，b＝eq (－3，k).


(1)若a∥b，求eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))的值；


(2)若a⊥eq (a＋2b)，求实数k的值；


(3)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．


[解] (1)因为向量a＝eq (1，2)，b＝eq (－3，k)，且a∥b，


所以1×k－2×eq (－3)＝0，解得k＝－6，


所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))＝eq (－3)2＋ (－6)2)＝3eq \r(5).


(2)因为a＋2b＝eq (－5，2＋2k)，且a⊥eq (a＋2b)，


所以1×eq (－5)＋2×eq (2＋2k)＝0，解得k＝eq \f(1,4).


(3)因为a与b的夹角是钝角，则a·2b＜0且a与b不共线．


即1×eq (－3)＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜eq \f(3,2)且k≠－6.