高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示一等奖教学设计

编号：007     课题:§9.3.2.2  向量数量积的坐标表示

目标要求

1、理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及相关结论．

2、理解并掌握向量数量积的坐标运算．

3、理解并掌握向量模的问题．

4、理解并掌握向量夹角、垂直问题.

学科素养目标

向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．

重点难点

重点：向量模的问题；

难点：向量夹角、垂直问题．

教学过程

基础知识点

1.平面向量数量积的坐标表示

2.平面向量数量积的坐标表示的结论

(1)结论

2.平面向量数量积的坐标表示的结论

(1)结论

(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.

(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.

【思考】

 已知向量,则与共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么?

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题错误的是    (     )

A.向量的模等于向量坐标的平方和.

B.若向量,则.

C.两个非零向量同向时，有.

D.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.

题2.若向量,且,则实数m的值为________.

题3.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a与b的夹角为θ,则cos θ=______.

关键能力·合作学习

类型一 数量积的坐标运算(数学运算)

【题组训练】

题4.若,且,则x等于   (    )

A.3             B.             C.          D .-3

题5.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是线段BC上的点,且DE=BC,则的取值范围是                   (     )

A.         B.         C.        D

题6.若,则________;________.

【解题策略】

 关于向量数量积的运算

(1)进行数量积运算时,要正确使用公式及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.

(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.

【补偿训练】

题7.已知向量,则k=    (    )

A.-12        B.-6       C.6        D.12

题8.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最

小值是   (    )

A.-2              B.          C.       D.-1

类型二 向量模的问题(数学运算)

【典例】题9.已知向量.

(1)  求的坐标及模;(2)若,求.

【解题策略】

 向量模的问题

(1)字母表示下的运算,利用将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.

(2)坐标表示下的运算,若,则.

【跟踪训练】

题10.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,,则 ________.

【补偿训练】

题11.已知,若,求的坐标及.

.

类型三 向量夹角、垂直问题(数学运算)

 角度1 平面向量的夹角问题

【典例】题12.已知,若与的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围.

【变式探究】

题13.已知,与的夹角θ为锐角,求实数λ的取值范围.

 角度2 平面向量的垂直问题

【典例】题14.已知向量,向量.

(1)求向量的坐标;

(2)若,求实数k的值.

【解题策略】

1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤

(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.

(2)求模.利用计算两向量的模.

(3)求夹角余弦值.由公式求夹角余弦值.

(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.

2.涉及非零向量垂直问题时,一般借助来解决.

【拓展延伸】

1.线段垂直的坐标关系

设是坐标平面内的三个点,则.

2.向量共线的条件

由可知,若θ=0°或180°,则cos θ=±1,则有

,利用此结论也可以判断两向量是否共线.

【拓展训练】

题15.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是 (    )

A.直角三角形          B.锐角三角形

C.钝角三角形   D.等边三角形

题16.已知向量,若,则实数λ= (    )

A.             B.           C.-2          D.2

题17.已知向量.

(1)求的值;

(2)求向量与夹角的余弦值.

【补偿训练】

题18.已知,当k为何值时,

(1)与垂直;

(2)与的夹角为120°.

 备选类型 用向量解代数问题(数学建模)

【典例】题19.求函数的最大值.

【解题策略】

 向量法巧解代数问题

向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题.

【跟踪训练】

题20.已知a,b,m,n∈,设,其中mn≠0,用向量方法求证:.

课堂检测·素养达标

题21.设,则  (    )

A.12  B.0  C.-3  D.-11

题22.已知平面向量，则向量的模是 (     )

A.      B.      C.      D.5

题23.已知向量,且,则m=______.

题24.已知,则夹角的余弦值等于________.

题25.已知.

求.

编号：007     课题:§9.3.2.2  向量数量积的坐标表示

目标要求

1、理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及相关结论．

2、理解并掌握向量数量积的坐标运算．

3、理解并掌握向量模的问题．

4、理解并掌握向量夹角、垂直问题.

学科素养目标

向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．

重点难点

重点：向量模的问题；

难点：向量夹角、垂直问题．

教学过程

基础知识点

1.平面向量数量积的坐标表示

2.平面向量数量积的坐标表示的结论

(1)结论

2.平面向量数量积的坐标表示的结论

(1)结论

(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.

(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.

【思考】

 已知向量,则与共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么?

提示:与共线的单位向量是,则，

其中正号、负号分别表示与同向和反向;

易知和垂直,

所以与垂直的单位向量的坐标是.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题错误的是    (     )

A.向量的模等于向量坐标的平方和.

B.若向量,则.

C.两个非零向量同向时，有.

D.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.

【答案】选ABD

提示:A×.向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.

B×. .

C√. 两个非零向量同向时，夹角为，有.

D×. 当两个向量方向相反时,它们的夹角θ=180°满足cos θ=-1<0.

题2.若向量,且,则实数m的值为________.

【解析】因为,所以,解得.

答案:

题3.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a与b的夹角为θ,则cos θ=______.

【解析】.

答案:

关键能力·合作学习

类型一 数量积的坐标运算(数学运算)

【题组训练】

题4.若,且,则x等于   (    )

A.3             B.             C.          D .-3

【解析】选C.因为,

所以.

题5.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是线段BC上的点,且DE=BC,则的取值范围是                   (     )

A.         B.         C.        D

【解析】选A.如图所示,以BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角

坐标系,则A(0,1),B(-1,0),C(1,0),设D(x,0),

则，据此有，

则，

据此可知当时, 取得最小值;

当或时，取得最大值，

所以的取值范围是.

题6.若,则________;________.

【解析】因为,

所以.

因为,

所以.

答案:(-16,-8)      (-8,-12)

【解题策略】

 关于向量数量积的运算

(1)进行数量积运算时,要正确使用公式及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.

(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.

【补偿训练】

题7.已知向量,则k=    (    )

A.-12        B.-6       C.6        D.12

【解析】选D. ,由,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.

题8.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最

小值是   (    )

A.-2              B.          C.       D.-1

【解析】选B.以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图,可知A(0,),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则

，

所以.

所以，

当点P的坐标为时, 取得最小值为.

类型二 向量模的问题(数学运算)

【典例】题9.已知向量.

(1)求的坐标及模;(2)若,求.

【解题策略】

 向量模的问题

(1)字母表示下的运算,利用将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.

(2)坐标表示下的运算,若,则.

【跟踪训练】

题10.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,,则 ________.

【解析】因为在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线, ,所

以,

所以,则.

 答案:

【补偿训练】

题11.已知,若,求的坐标及.

【解析】设,则由,得.

由,可知2x+3y=0,解方程组  

得或所以或,

所以或,所以.

类型三 向量夹角、垂直问题(数学运算)

 角度1 平面向量的夹角问题

【典例】题12.已知,若与的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围.

【思路导引】的夹角θ为钝角等价于且θ≠180°.

【解析】因为,所以.

因为的夹角θ为钝角,所以即

所以λ<1且λ≠-1.

所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).

【变式探究】

题13.已知,与的夹角θ为锐角,求实数λ的取值范围.

【解析】由已知得, .

因为与的夹角为锐角,所以cos θ>0且cos θ≠1,所以且不同向.

由,得,由与同向得λ=2.

所以实数λ的取值范围为.

 角度2 平面向量的垂直问题

【典例】题14.已知向量,向量.

(1)求向量的坐标;

(2)若,求实数k的值.

【思路导引】(1)根据向量的坐标运算可得出答案;

(2)根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程得出答案.

【解析】(1)因为,所以，

.

(2)因为,所以,即，

解得.

【解题策略】

1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤

(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.

(2)求模.利用计算两向量的模.

(3)求夹角余弦值.由公式求夹角余弦值.

(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.

2.涉及非零向量垂直问题时,一般借助来解决.

【拓展延伸】

1.线段垂直的坐标关系

设是坐标平面内的三个点,则.

2.向量共线的条件

由可知,若θ=0°或180°,则cos θ=±1,则有

,利用此结论也可以判断两向量是否共线.

【拓展训练】

题15.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是 (    )

A.直角三角形          B.锐角三角形

C.钝角三角形   D.等边三角形

【解析】选A.由题设知(0+2)(6+2)+(5-1)(-3-1)=0,所以,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.

【题组训练】

题16.已知向量,若,则实数λ= (    )

A.             B.           C.-2          D.2

【解析】选C.因为,所以，

又,所以,

即，解得λ=-2.

题17.已知向量.

(1)求的值;

(2)求向量与夹角的余弦值.

【解析】(1)因为,所以;

(2)由(1)知,

所以.

【补偿训练】

题18.已知,当k为何值时,

(1)与垂直;

(2)与的夹角为120°.

【解析】因为,,

,.

(1)因为与垂直,所以k-3k-6=0,所以k=-3,

即当k=-3时,与垂直.

(2)因为，，

，

因为与的夹角为120°,所以，

即，

化简整理,得,解得.

即当时,与的夹角为120°.

 备选类型 用向量解代数问题(数学建模)

【典例】题19.求函数的最大值.

【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似,建立向量模型求解.

【解析】设，则，

因为，所以,

又因为,所以,

当且仅当共线时,等号成立,即，解得，

当时,的最大值为39,

即函数的最大值为39.

【解题策略】

 向量法巧解代数问题

向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题.

【跟踪训练】

题20.已知a,b,m,n∈,设,其中mn≠0,用向量方法求证:.

【证明】设,且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°),

则,

因为,

所以,又,

所以,所以,

又0°≤θ≤180°,所以θ=0°或180°,即,

所以an-bm=0,又mn≠0,所以.

课堂检测·素养达标

题21.设,则  (    )

A.12  B.0  C.-3  D.-11

【解析】选C.因为,

所以,所以.

题22.已知平面向量，则向量的模是 (     )

A.      B.      C.      D.5

【解析】选C.因为向量，  

所以，所以.

题23.已知向量,且,则m=______.

【解析】因为向量,所以,即-4×6+3m=0,m=8.

答案:8

题24.已知,则夹角的余弦值等于________.

【解析】因为,所以.又,

设与的夹角为θ,所以.

答案:

题25.已知.

求.

【解析】因为,

所以,

所以,

,

,

.