苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算优秀复习练习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算优秀复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．已知λ∈R，则下列说法正确的是( )


A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a


C．|λa|＝|λ||a|D．|λa|>0


C [当λ<0时，A式不成立；当λ＝0或a＝0时，D式不成立；又|λa|∈R，而|λ|a是数乘向量，故B式不成立．]


2．如图所示，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(AD,\s\up8(→))＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则eq \(MN,\s\up8(→))＝( )





A．eq \f(1,4)(b－a) B．eq \f(1,2)(b－a)


C．eq \f(1,4)(a－b) D．eq \f(1,2)(a－b)


A [eq \(MN,\s\up8(→))＝eq \(MC,\s\up8(→))＋eq \(CN,\s\up8(→))＝eq \(MC,\s\up8(→))－eq \(NC,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,4)(a＋b)＝eq \f(1,4)b－eq \f(1,4)a＝eq \f(1,4)(b－a)．]


3．已知向量a，b且eq \(P1P2,\s\up8(→))＝a＋2b，eq \(P2P3,\s\up8(→))＝－5a＋6b，eq \(P3P4,\s\up8(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )


A．P1，P2，P3B．P1，P3，P4


C．P2，P3，P4D．P1，P2，P4


D [∵eq \(P2P4,\s\up8(→))＝eq \(P2P3,\s\up8(→))＋eq \(P3P4,\s\up8(→))＝2a＋4b＝2eq \(P1P2,\s\up8(→))，∴P1，P2，P4三点共线．]


4．已知a，b是两个不共线的向量，eq \(AB,\s\up8(→))＝a＋5b，eq \(BC,\s\up8(→))＝－2a＋8b，eq \(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，则( )


A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线


C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线


B [∵eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝eq \(AB,\s\up8(→))，∴eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(BD,\s\up8(→))平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．]


5．在△ABC中，eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up8(→))，若eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(AC,\s\up8(→))＝b，则eq \(AD,\s\up8(→))＝( )


A．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b


C．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D．eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b


A [法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，f ，则四边形AEDf 为平行四边形，所以eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AE,\s\up8(→))＋eq \(AF,\s\up8(→)).因为eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up8(→))，所以eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))，





所以eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选A．


法二：eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b，故选A．]


二、填空题


6．若O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，eq \(AB,\s\up8(→))＝2e1，eq \(BC,\s\up8(→))＝3e2，则eq \(BO,\s\up8(→))＝________.(用e1，e2表示)


eq \f(3,2)e2－e1 [∵eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(BC,\s\up8(→))，∴eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝3e2－2e1.


又∵eq \(BD,\s\up8(→))＝2eq \(BO,\s\up8(→))，∴eq \(BO,\s\up8(→))＝eq \f(3,2)e2－e1.]


7．eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))＝________.


2b－a [eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))＝eq \f(1,6)(2a＋8b)－eq \f(1,3)(4a－2b)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(4,3)b－eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b＝2b－a.]


8．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________.


－2 [∵e1，e2不共线，∴向量a，b不为0.


又∵a，b共线，∴存在实数λ，使a＝λb，


即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2.


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λk＝2，,λ＝－1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－2，,λ＝－1.))]


三、解答题


9．已知在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up8(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up8(→))＝－4a－b，eq \(CD,\s\up8(→))＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形．





[证明] 如图所示．


∵eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，


∴eq \(AD,\s\up8(→))＝2eq \(BC,\s\up8(→)).∴eq \(AD,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))共线，且|eq \(AD,\s\up8(→))|＝2|eq \(BC,\s\up8(→))|.


又∵这两个向量所在的直线不重合，


∴AD∥BC，且AD＝2BC．


∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．


10．已知O，A，M，B为平面上四点，且eq \(OM,\s\up8(→))＝λeq \(OB,\s\up8(→))＋(1－λ)eq \(OA,\s\up8(→))(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．


(1)求证：A，B，M三点共线；


(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．


[解] (1)证明：∵eq \(OM,\s\up8(→))＝λeq \(OB,\s\up8(→))＋(1－λ)eq \(OA,\s\up8(→))，


∴eq \(OM,\s\up8(→))＝λeq \(OB,\s\up8(→))＋eq \(OA,\s\up8(→))－λeq \(OA,\s\up8(→))，


eq \(OM,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→))＝λeq \(OB,\s\up8(→))－λeq \(OA,\s\up8(→))，


∴eq \(AM,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．


又eq \(AM,\s\up8(→))与eq \(AB,\s\up8(→))有公共点A，∴A，B，M三点共线．


(2)由(1)知eq \(AM,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))，


若点B在线段AM上，则eq \(AM,\s\up8(→))与eq \(AB,\s\up8(→))同向，


∴|eq \(AM,\s\up8(→))|>|eq \(AB,\s\up8(→))|>0，∴λ>1.





1．已知△ABC和点M满足eq \(MA,\s\up8(→))＋eq \(MB,\s\up8(→))＋eq \(MC,\s\up8(→))＝0.若存在实数m使得eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))＝meq \(AM,\s\up8(→))成立，则m的值为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


C [由eq \(MA,\s\up8(→))＋eq \(MB,\s\up8(→))＋eq \(MC,\s\up8(→))＝0可知，M是△ABC的重心．


取BC的中点D，则eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))＝2eq \(AD,\s\up8(→)).


又M是△ABC的重心，∴eq \(AM,\s\up8(→))＝2eq \(MD,\s\up8(→))，∴eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(3,2)eq \(AM,\s\up8(→))，


∴eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))＝3eq \(AM,\s\up8(→))，即m＝3.]


2．如图，在△ABC中，eq \(AN,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up8(→))，P是BN上一点，若eq \(AP,\s\up8(→))＝teq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))，则实数t的值为( )





A．eq \f(2,3) B．eq \f(2,5)


C．eq \f(1,6) D．eq \f(3,4)


C [法一：因为eq \(AN,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up8(→))，所以eq \(AN,\s\up8(→))＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up8(→)).


设eq \(NP,\s\up8(→))＝λeq \(NB,\s\up8(→))，则eq \(AP,\s\up8(→))＝eq \(AN,\s\up8(→))＋eq \(NP,\s\up8(→))＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up8(→))＋λeq \(NB,\s\up8(→))＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up8(→))＋λ(eq \(NA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→)))＝eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up8(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f (2,5)\(AC,\s\up8(→))＋\(AB,\s\up8(→))))＝λeq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,5)(1－λ)eq \(AC,\s\up8(→))，


又eq \(AP,\s\up8(→))＝teq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))，所以teq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＝λeq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,5)(1－λ)eq \(AC,\s\up8(→))，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＝λ,\f(2,5)1－λ＝\f(1,3)))，解得t＝λ＝eq \f(1,6)，故选C．


法二：因为eq \(AN,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(NC,\s\up8(→))，所以eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(5,2)eq \(AN,\s\up8(→))，所以eq \(AP,\s\up8(→))＝teq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＝teq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(5,6)eq \(AN,\s\up8(→))，


因为B，P，N三点共线，所以t＋eq \f(5,6)＝1，所以t＝eq \f(1,6)，选C．]


3．(多选题)设a，b是不共线的两个平面向量，已知eq \(PQ,\s\up8(→))＝a＋sin α·b，其中α∈(0,2π)，eq \(QR,\s\up8(→))＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6) C．eq \f(7π,6) D．eq \f(11π,6)


CD [因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2a－b≠0.即eq \(QR,\s\up8(→))≠0，因为P，Q，R三点共线，所以eq \(PQ,\s\up8(→))与eq \(QR,\s\up8(→))共线，所以存在实数λ，使eq \(PQ,\s\up8(→))＝λeq \(QR,\s\up8(→))，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝2λ，,sin α＝－λ，))解得sin α＝－eq \f(1,2).


又α∈(0,2π)，故α可为eq \f(7π,6)或eq \f(11π,6).选CD．]


4．(一题两空)在△ABC中，eq \(BD,\s\up8(→))＝2eq \(DC,\s\up8(→))，eq \(AD,\s\up8(→))＝meq \(AB,\s\up8(→))＋neq \(AC,\s\up8(→))，则m＝________，n＝________.


eq \f(1,3) eq \f(2,3) [eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝2eq \(AC,\s\up8(→))－2eq \(AD,\s\up8(→))，∴3eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋2eq \(AC,\s\up8(→))，∴eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up8(→)).]


5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝eq \f(1,2)DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AM,\s\up8(→))＝meq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AN,\s\up8(→))＝neq \(AC,\s\up8(→))，求eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)的值．





[解] 法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.





由eq \(AN,\s\up8(→))＝neq \(AC,\s\up8(→))可得eq \f(AC,AN)＝eq \f(1,n)，所以eq \f(AE,EM)＝eq \f(AC,CN)＝eq \f(1,n－1)，由BD＝eq \f(1,2)DC可得eq \f(BM,ME)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(AM,AB)＝eq \f(n,n＋\f(n－1,2))＝eq \f(2n,3n－1)，因为eq \(AM,\s\up8(→))＝meq \(AB,\s\up8(→))，所以m＝eq \f(2n,3n－1)，整理可得eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝3.


法二：连接AD．因为M，D，N三点共线，所以eq \(AD,\s\up8(→))＝λeq \(AM,\s\up8(→))＋(1－λ)·eq \(AN,\s\up8(→)).


又eq \(AM,\s\up8(→))＝meq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AN,\s\up8(→))＝neq \(AC,\s\up8(→))，所以eq \(AD,\s\up8(→))＝λmeq \(AB,\s\up8(→))＋(1－λ)·neq \(AC,\s\up8(→)).


又eq \(BD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up8(→))，所以eq \(AD,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up8(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))，所以eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→)).


比较系数知λm＝eq \f(2,3)，(1－λ)n＝eq \f(1,3)，所以eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝3.