苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示课后练习题

9.3　向量基本定理及坐标表示

9.3.1　平面向量基本定理

基础过关练

题组一　基底的理解与判定

1.下列说法中正确的是(　　)

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;

②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;

③零向量不可以作为基底中的向量.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

2.已知e1,e2不共线,则下列选项中不可以作为一组基底的是(　　)

A.e1+e2和e1-e2 B.4e1-2e2和6e1-3e2

C.2e1-e2和e2 D.e1-e2和2e2+e1

3.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,其中可作为基底的一对向量是(　　)

A., B.,

C., D.,

4.已知向量e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中,不能作为一组基底的是(　　)

A.e1,e1+e2 B.e1-2e2,e2-2e1

C.e1-2e2,4e2-2e1 D.e1+e2,e1-e2

题组二　用基底表示向量

5.O为▱ABCD的对角线交点,=4e1,=6e2,则3e2-2e1等于(　　)

A. B. C. D.

6.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AB=2CD,M为BC的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)

A.1 B. C. D.

7.已知=a,=b,C为线段AB上靠近A的一个三等分点,D为BC上靠近C的一个三等分点,用a、b表示为=　　　　.

8.如图,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若=a,=b,用基底a,b表示.

题组三　平面向量基本定理的应用

9.在平行四边形ABCD中,E,F分别是边CD,BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ的值为(　　)

A. B.2 C.3 D.1

10.设向量a与b不共线,若=3a+b,=a+mb,=2a-b,且A,C,D三点共线,则m=　　　　.

11.如图,设O是△ABC内部一点,且+=-2,则△AOB与△AOC的面积之比为　　　　.

12.设a,b是平面内的一组基底,=a+5b,=-2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.

能力提升练

题组一　用基底表示向量

1.(2020湖北襄阳四中高一期末,)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则=(　　)

A.a+b B.a+b

C.a+b D.a+b

2.()已知在△ABC中,点M在BC边所在的直线上且满足||=3||,设=a,=b,以,作为基底,则=　　　　　　　　.

3.()在平面四边形ABCD中,||=3,||=7,||=11,||=9,则·=　　　　.

题组二　平面向量基本定理的应用

4.()在△ABC中,P是BC边的中点,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若c+a+b=0,则△ABC为(　　)

A.直角三角形 B.钝角三角形

C.等边三角形 D.等腰三角形

5.(2020湖南师大附中高一期末,)如图,在△ABC中,=,P是BN上一点,若=m+,则实数m的值为(　　)

A.1 B. C. D.3

6.(多选)()已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2,给出以下结论,其中正确的结论是(　　)

A.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2

B.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2

C.存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线

D.不存在实数k,使得a与b不共线,e1与e2共线

7.(2020江苏前黄高级中学高一期末,)如图,已知△ABC与△AMN有一个公共顶点A,且MN与BC的交点O平分BC,若=m,=n,m,n∈R,则+的最小值为(　　)

A.4 B. C.+ D.6

8.()如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域(不含边界)内运动,且=x+y,则实数x的取值范围是　　　　;当x=-时,实数y的取值范围是　　　　.

9.()如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线,E在边AC上且AE=2EC,BE交AD于点G,求及的值.

10.(2020江苏南通高一上学期期末,)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3,D是BC的中点,点E满足=2,BE与AD交于点G.

(1)设=λ,求实数λ的值;

(2)设H是BE上一点,且·=·,求·的值.

答案全解全析

9.3　向量基本定理及坐标表示

9.3.1　平面向量基本定理

基础过关练

1.B　一个平面内只要是一对不共线的向量就可以作为该平面内所有向量的基底,故①错误;②③显然正确.故选B.

2.B　∵4e1-2e2=(6e1-3e2),∴4e1-2e2和6e1-3e2共线,不能作为基底,其他三组向量都不共线,可作为基底.

3.B　由基底的概念可知,作为基底的两个向量不能共线.由题图可知,与共线,与共线,与共线,均不能作为基底向量,与不共线,可作为基底向量,故选B.

4.C　因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以e1-2e2与4e2-2e1共线,不能作为一组基底.

5.B　由+=,得6e2-4e1=,

即2(3e2-2e1)=,所以3e2-2e1=.

6.B　连接AC,∵M为BC的中点,

∴=(+),

又∵=+=+,

∴=+=+,∴λ=,μ=,∴λ+μ=.

7.答案　a+b

解析　由已知得==×=,∴-=(-),

∴-b=(a-b),∴=a+b.

8.解析　易知=,=,

设=λ(λ∈R),

则由向量加法的平行四边形法则可得=λ(+)=2λ+2λ.

由于E,G,F三点共线,则2λ+2λ=1,

即λ=,从而=,

从而==(a+b)=a+b.

9.A　设=a,=b,

则=a+b,=b+a,

又=b+a,所以=(+),

故λ=μ=,所以λ+μ=.

10.答案　-3

解析　=+=3a+b+a+mb=4a+(m+1)b.

由A,C,D三点共线,可设=λ(λ∈R),

即4a+(m+1)b=2λa-λb,

∵向量a与b不共线,

∴解得

11.答案　1∶2

解析　如图,设M是AC的中点,连接OM,则+=2,

又+=-2,∴=-,即O是BM的中点,∴S△AOB=S△AOM=S△AOC,即S△AOB∶S△AOC=1∶2.

12.证明　因为=++=a+5b+(-2a+8b)+3(a-b)=2a+10b=2(a+5b)=2,所以与共线.

又因为与有公共点A,

所以A,B,D三点共线.

能力提升练

1.C　如图,∵=a,=b,

∴=+=+=a+b.

∵E是OD的中点,

∴=,

∴||=||,

∴==(-)=×=-=a-b,

∴=+=a+b+a-b=a+b,故选C.

2.答案　a+b或a-b

解析　由||=3||,得=3或=-3,故点M在边BC上或在CB的延长线上.

当点M在边BC上时,=-=b-a,因为=3,所以==b-a,

所以=+=a+=a+b;

当点M在CB的延长线上时,=-3=3,故=,

所以=+=+=+(-)=-=a-b.

综上,=a+b或=a-b.

3.答案　0

解析　如图,

·=·(-)

=·-·

 =(+)·-(+)·

=+·--·

=+(+)2-(+)-

 -(+)2+(+)

=---++

 =(+--)=0.

4.C　∵P是BC边的中点,

∴=-=--.

∵c+a+b=0,

∴c(--)+a+b=0,

即(a-c)+(b-c)=0.

∵与不共线,

∴a-c=0且b-c=0,∴a=b=c,

∴△ABC是等边三角形.

5.C　因为B,P,N三点共线,

所以∥,设=λ(λ∈R),

即-=λ(-),

所以=+.

因为=,所以=4,

所以=m+=m+,

由,不共线得

解得

故选C.

6.AD　若a与b共线,则可得λa=b(λ∈R),即2λe1-λe2=ke1+e2,由e1与e2不共线得2λ=k,-λ=1,解得k=-2,

所以A正确,B错误.

若e1与e2共线,则可得e1=me2(m∈R),则a=2e1-e2=(2m-1)e2,b=ke1+e2=(km+1)e2,可得a与b共线,

所以C错误,D正确.

故选AD.

7.C　因为O为BC的中点,所以=(+),又=m,=n,所以=+.又M,O,N三点共线,所以+=1,即m+n=2,易知m>0,n>0,所以+=·=+++1=+≥+2=+,当且仅当即时取等号.故+的最小值为+.故选C.

8.答案　(-∞,0);

解析　设=a+b(a>0,0<b<1),=λ(λ>0),

则=aλ+b=aλ(-)+b=-aλ+(aλ+b)(λ>0).

由-aλ<0,得x<0,

故x的取值范围为(-∞,0).

因为=x+y,所以x+y=-aλ+aλ+b=b,所以0<x+y<1,

当x=-时,有0<-+y<1,

解得<y<,

故y的取值范围为.

9.解析　设=λ,=μ.∵AD为BC边上的中线,∴=(+).

又=λ=λ(-),

∴==+.

∵=μ,∴-=μ(-),∴(1+μ)=+μ,即=+.

又=,∴=+.

∵,不共线,∴

解得∴=4,=.

10.解析　(1)设=a,=b,

因为=λ,D是BC的中点,

所以=λ·=a+b.①

设=t,0<t<1,

故-=t(-),

整理得=t+(1-t),

又=2,即=,

所以=t·+(1-t)=a+(1-t)·b.②

联立①②,结合平面向量基本定理,得解得

所以实数λ的值为.

(2)因为·=·,

所以·(-)=0,即·=0,

所以·=(-)·

=·-·

=-·=-·(a-b)=-(a2-b2)=-×(32-22)=-2.