数学苏教版 (2019)9.3 向量基本定理及坐标表示公开课课件ppt

这是一份数学苏教版 (2019)9.3 向量基本定理及坐标表示公开课课件ppt，共49页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，不共线，λ1e1+λ2e2，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标，解析选A等内容，欢迎下载使用。

1.平面向量基本定理(1)定理:
(2)本质:向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的.(3)应用:①用基底表示同一平面内的任一向量;②根据“唯一性”列方程(组)求未知数;③为引入向量的坐标表示奠定基础.2.正交分解对于分解a=λ1e1+λ2e2,当e1,e2所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量a的正交分解.
【思考】(1)如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?提示:不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.(2)平面向量的基底是唯一的吗?提示:不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)基底中的向量不能为零向量.(　　)(2)若e1,e2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.(　　)(3)在梯形ABCD中,AD∥BC,则向量 与 可以构成一组基底.(　　)
提示:(1)√.0与任意向量是共线的,所以基底中的向量不能为零向量.(2)√.根据平面向量基本定理知,平面内任一向量都可以由向量e1,e2线性表示.(3)√.易知 与 不共线,所以 与 可以构成一组基底.
2.(教材二次开发:例题改编)如图, , 不共线,且 则 =________(用 , 表示). 
【解析】由已知 得 整理,得 答案:
3.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(x-2)e1+(y-1)e2=5e1+2e2,则x=________,y=________. 【解析】因为向量e1,e2不共线,所以根据平面向量基本定理可由(x-2)e1+(y-1)e2=5e1+2e2,得x-2=5,且y-1=2,解得x=7,且y=3.答案:7　3
类型一　平面向量基本定理的理解(数学运算、逻辑推理)【题组训练】1.(2020·南通高一检测)设e1,e2是平面内的一组基底,则下面的四组向量不能作为基底的是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.e1+e2和e1-e2B.e1和e1+e2C.e1+3e2和e2+3e1D.3e1-2e2和4e2-6e1
2.如果e1,e2是某平面内一组基底,那么下列说法中不正确的是(　　)①对于此平面内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个;②若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0;③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2);④若a=λ1e1+λ2e2,且a∥e1,则λ2=0.A.①②B.①③C.③④D.②
3.如图所示,平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括边界),若 且点P落在第Ⅰ部分,则实数a,b满足 (　　) A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0
【解析】1.选D.因为e1,e2是平面内的一组基底,所以e1,e2不共线,而4e2-6e1=-2(3e1-2e2),则根据向量共线定理可得,(4e2-6e1)∥(3e1-2e2),根据基底的条件,选项D不能作为基底.
2.选B.①错误,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基底确定,那么平面内任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.②正确,由0e1+0e2=0及λ,μ的唯一性可知λ=μ=0;③错误,当两向量均为零向量,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个.④正确,因为a∥e1,所以存在实数μ,使得a=μe1,所以λ1e1+λ2e2=μe1,又e1,e2不共线,所以λ1=μ,λ2=0.3.选C.当点P落在第Ⅰ部分时, 按向量 与 分解时,一个与 反向,一个与 同向,故a<0,b>0.
【解题策略】1.对基底的理解两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.2.对平面向量基本定理的理解(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即0=λ1e1+λ2e2,且λ1=λ2=0.(2)对于固定基底而言,平面内任一确定的向量的分解是唯一的.
【补偿训练】给出下列三种说法:①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;②一个平面内有无数组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量.其中,说法正确的为(　　)A.①②　　B.②③　　C.①③　　D.①②③【解析】选B.根据基底的概念,可知②③正确.
类型二　用基底表示向量(数学运算) 　角度1　线性运算法 【典例】(2020·朔州高一检测)如图,在△ABC中, 则 =(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.-3B.3C.2D.-2 【思路导引】由 设计解题思路.
【解析】选B.因为 又因为 所以 所以 又 且 与 不共线,所以 则
【变式探究】将本例条件改为“ ”,其他条件不变,求 的值.
【解析】由 得 所以 所以 又因为 所以 又 且 与 不共线,所以
　角度2　待定系数法 【典例】已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量a和b表示c.【思路导引】设c=xa+yb,x,y∈R,根据e1,e2不共线,列方程组求x,y.【解析】因为a,b不共线,所以可设c=xa+yb,x,y∈R,则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又因为e1,e2不共线,所以 解得x=1,y=-2,所以c=a-2b.
【解题策略】用基底表示向量的两种方法(1)线性运算法运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止.解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形,找到已知向量和未知向量的关系.(2) 待定系数法首先根据平面向量基本定理设所求向量为两个不共线向量的线性运算形式,然后通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求待定系数.
【题组训练】1.(2020·济宁高一检测)如图,在等腰梯形ABCD中,DC= AB,BC=CD=DA,DE⊥AC 于点E,则 =(　　)
【解析】选A.因为CD=DA,DE⊥AC,所以E是AC 的中点,所以 又因为DC∥AB,DC= AB,所以 所以
2.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底表示向量c=3e1-e2.
【解析】(1)假设a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).由e1,e2不共线,得 所以λ不存在.故a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,所以 解得 所以c=2a+b.
【拓展延伸】方程组法表示向量类比解方程组的方法,将所要表示的向量看成未知数,根据题目条件列出所要表示的向量的方程(组),解方程或方程组即得.
【拓展训练】如图所示,在平行四边形ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点,已知 试用c,d表示 , .
【解析】设 由①②得 解得 即
【补偿训练】如图,在△AOB中, 设 而OM与BN相交于点P,试用a,b表示向量 .
【解析】因为 与 共线,令 则 又设 所以 所以 所以
类型三　平面向量基本定理的综合应用(数学运算)【典例】在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是线段CD上一点,满足| |=2| |,如图所示,设 =a, =b.(1)用a,b表示 ;(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE?若存在,确定F点的位置,并求| |;若不存在,请说明理由.
【解题策略】用向量解决平面几何问题的一般步骤(1)选取不共线的两个平面向量作为基底.(2)将相关的向量用基底中的向量表示,将几何问题转化为向量问题.(3)利用向量知识进行向量运算,得向量问题的解.(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.
【跟踪训练】(2020·江苏高考)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若 (m为常数),则CD的长度是________. 
【解析】作AE⊥BC,交BC于点E.设 因为C,D,B三点共线,所以λm+λ =1,解得λ= ,所以AD=3=AC, 所以CD=2·AC·cs C= .答案:
1.点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为基底的一组向量是(　　)
【解析】选B.由题图可知, 与 , 与 , 与 共线,不能作为基底, 与 不共线,可作为基底.
2.如图,在矩形ABCD中,若 则 =(　　) A. (5e1+3e2)B. (5e1-3e2)C. (3e2-5e1)D. (5e2-3e1)
3.如图,在正方形ABCD中,设 则以a,b为基底时, 可表示为________,以a,c为基底时, 可表示为________. 【解析】以a,b为基底时,由平行四边形法则得 =a+b.以a,c为基底时,将 平移,使B与A重合,再由三角形法则或平行四边形法则得 =2a+c.答案:a+b　2a+c
4.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y=________. 【解析】由平面向量基本定理,得 　 所以 所以x-y=3.答案:3
5.(教材二次开发:练习改编)在平行四边形ABCD中, =a, =b, (1)如图1,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示 , .(2)如图2,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示 .