苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示一等奖课件ppt

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1.平面向量的坐标表示(1)产生过程
(2)本质:向量的坐标表示实现了向量的“量化”表示.(3)应用:为向量的坐标运算奠定基础.
2.向量线性运算的坐标表示
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
3.向量坐标与点的坐标的联系(1)条件:O(0,0),A(x1,y1) ,B(x2,y2),(2)结论: =_______, =_______, =____________.(3)语言表述:①以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标;②一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_____的坐标减去_____的坐标.
(x2-x1,y2-y1)
【思考】向量坐标与点的坐标的区别是什么?提示:(1)表示形式不同.向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.(2)意义不同.点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,向量a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.
4.线段定比分点坐标公式设P1(x1,y1),P2(x2,y2),点P(x,y)是直线P1 P2上一点,且 (λ≠-1),则 特别地,当λ=1时,得到线段P1 P2的中点M(x,y)的坐标公式
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.(　　)(2)向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化.(　　)(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关.(　　)提示:(1)×.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一样.(2)×.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.(3)×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.
2.(教材二次开发:练习改编)在平面直角坐标系中,已知点P(1,2),Q(4,3),那么向量 =________. 【解析】 答案:(3,1)
3.设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量,O为坐标原点,若 =4i+2j, =3i+4j,则 的坐标是________. 【解析】因为 =(4,2), =(3,4),所以 =(4,2)+(3,4)=(7,6).答案:(7,6)
类型一　向量的坐标表示(数学抽象) 【题组训练】1.如图,以e1,e2为基底,且e1=(1,0),e2=(0,1),则向量a的坐标为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.(1,3)　　　B.(3,1)C.(-1,-3)　　　D.(-3,-1)
2.如果用i,j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量,且 那么 可以表示为(　　)A.2i+3jB.4i+2jC.2i-jD.-2i+j
3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,则a的坐标为________,b的坐标为________. 
【解析】1.选A.因为e1,e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,由题图可知a=e1+3e2,根据平面向量坐标的定义可知a=(1,3).2.选C.记O为坐标原点,则 =2i+3j, =4i+2j,所以 =4i+2j-(2i+3j)=2i-j.
3.设点A(x,y),B(x0,y0),因为|a|=2,且∠AOx=45°,所以x=2cs 45°= ,y=2sin 45°= .又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,所以x0=3cs 120°=- ,y0=3sin 120°= ,故a= b= 答案:
【解题策略】求向量坐标的方法(1)定义法:根据平面向量坐标的定义得a=xi+yj= ,其中i,j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量.(2)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.(3)求差法:先求出这个向量的起点、终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标.
【补偿训练】1.如图所示,向量a,b,c在边长为1的正方形网格中,则向量坐标为a=________,b=________,c=________. 
【解析】以向量a的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(向量坐标与坐标系选取无关),则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).答案:(-1,1)　(6,2)　(-1,-3)
2.已知边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和 的坐标.
【解析】由题知B,D分别是30°角,120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cs 30°= ,y1=sin 30°= ,所以B x2=cs 120°=- ,y2=sin 120°= ,所以D 所以
类型二　向量线性运算坐标表示(数学运算) 【典例】1.已知点A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),则向量 = (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)2.已知向量a,b的坐标分别是(-1,5),(2,-7),求a+b,a-b的坐标.【思路导引】1.根据向量减法的三角形法则,找到 的关系,应用向量的加、减法坐标运算求坐标.2.直接应用向量的加、减法坐标运算公式求坐标.
【解析】1.选A. =(3,2)-(0,1)=(3,1), =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).2.a+b=(-1,5)+(2,-7)=(1,-2),a-b=(-1,5)-(2,-7)=(-3,12).
【解题策略】向量线性运算的方法(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差和数乘的运算法则进行运算.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)求一个点的坐标,可以转化为求以原点为起点,该点为终点的向量的坐标.
【跟踪训练】1.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若 =(-1,3), =(2,5),则 等于(　　)A.(-2,-4)B.(4,-1)C.(3,5)D.(2,4)【解析】选B.因为 所以 =(3,2),所以 =(4,-1).
【补偿训练】若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求 的坐标.【解析】因为 =(-2,10), =(-8,4), =(-10,14),所以 + =(-2,10)+(-8,4)=(-10,14); - =(-8,4)-(-10,14)=(2,-10).
2.已知向量a=(1,1),b=(1,-1),则 a- b=(　　)A.(-2,-1)　　　B.(-2,1)C.(-1,0)　　　D.(-1,2)【解析】选D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以 a- b= (1,1)- (1,-1)= =(-1,2).
3.已知A(1,2),B(-3,4), 的中点坐标为(　　)A.(-4,2)　　B.(4,2)　　C.(-1,3)　　D.(1,-3)【解析】选C.由A(1,2),B(-3,4),则 中点坐标为 =(-1,3).
类型三　线性运算坐标表示的应用(逻辑推理、数学运算)【典例】已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-1, -2),B(3,-1),C(4,2),而且A,B,C,D四点按逆时针方向排列.(1)求向量 的坐标;(2)求点D的坐标.【思路导引】(1)终点坐标减起点坐标求向量的坐标,同时注意 的关系;(2)方法一:转化为求向量的坐标;方法二:设点D的坐标,根据 的坐标列方程求未知数得出坐标.
【解析】(1)因为A(-1, -2),B(3,-1),C(4,2),所以
(2)方法一:由(1)知, 又因为 所以 所以点D的坐标为
方法二:设点D坐标为 由(1)知, 又A(-1, -2),所以 所以 所以 所以点D坐标为(0,1).
【变式探究】将本例条件改为“已知平面上三个点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),且A,B,C,D四点构成平行四边形”,求点D的坐标.
【解析】设点D坐标为 ,分以下三种情况讨论:(1)若四边形ABCD为平行四边形,得 即 所以 所以 解得D(2,2).(2)若四边形ABDC为平行四边形,得 即 所以 所以 解得D(4,6).
(3)若四边形ADBC为平行四边形,得 即 所以 所以 解得D(-6,0).因此,使A,B,C,D四点构成平行四边形的点D的坐标是(2,2)或(4,6)或(-6,0).
【解题策略】线性运算坐标表示的应用(1)由向量的坐标定义知,两向量相等的充要条件是它们的坐标相等,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b⇔x1=x2且y1=y2.(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;也可以利用基向量法,主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则.
【跟踪训练】1.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(1,m),若实数λ满足a+b=λc,则λ+m等于(　　)A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8【解析】选B.由向量的坐标运算法则可得a+b=(5,5),λc=(λ,λm),据此有 解得λ=5,m=1,所以λ+m=6.
2.已知向量 若 =a+b+c,且A(1,1),则向量 的终点B的坐标为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)【解析】选A. =a+b+c设终点为B ,则 所以 所以 所以终点B的坐标为(9,1).
【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为________. 
【解析】方法一:由题意知,四边形ABCD是平行四边形,所以 设D(x,y),则(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),所以x=0,y=-2,即D(0,-2).方法二:由题意知,四边形ABCD为平行四边形,所以 即 所以 =(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2),即D点的坐标为(0,-2).答案:(0,-2)
1.给出下列几种说法:①相等向量的坐标相同;②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;③一个坐标对应唯一的一个向量;④平面上一个点与以原点为起点,该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误.
2.设点A(1,2),B(3,5),将向量 按向量a=(-1,-1)平移后得到 为(　　)A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,7)【解析】选B.因为A(1,2),B(3,5),所以 =(2,3),将向量 按向量a=(-1,-1)平移得到 ,知 的方向相同,大小也相等,只是位置不同,于是 =(2,3).
3.在平面直角坐标系内,设与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,若a=2i-j,则此向量用坐标表示a=________. 【解析】由于i,j是两个互相垂直的单位向量,所以a=(2,-1).答案:(2,-1)
4.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且 =(-1,-1),则 =________; =________; =________. 
【解析】由题意知 =-(-1,-1)=(1,1),由正方形的对称性可知,B(1,-1),所以 =(1,-1),同理 =(-1,1).答案:(1,-1)　(1,1)　(-1,1)