苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示优秀教学设计

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示优秀教学设计，共17页。教案主要包含了课前基础演练，题组训练，解题策略，补偿训练，思路导引，跟踪训练，变式探究等内容，欢迎下载使用。

编号：006 课题:§9.3.2.1 向量坐标表示与线性运算
目标要求
1、理解并掌握向量的坐标表示与运算的概念．
2、理解向量的坐标表示．
3、理解向量线性运算坐标表示．
4、理解并掌握线性运算坐标表示的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量线性运算坐标表示；
难点：线性运算坐标表示的应用．
教学过程
基础知识点
1.平面向量的坐标表示
(1)产生过程
单位向量
建系
选底
在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个___单位向量___分别
为作为基底
线性
表示
对于平面内的任意一个向量,有且只有一对实数x,y,使得_____
定义
坐标
有序数对(x,y)叫作向量的坐标,记作___①,其中x叫作在
x轴上的坐标,y叫作在y轴上的坐标.①叫作向量的坐标表示
特例

(2)本质:向量的坐标表示实现了向量的“量化”表示.
(3)应用:为向量的坐标运算奠定基础.
2.向量线性运算的坐标表示
条件

结论
;
;
3.向量坐标与点的坐标的联系
(1)条件: ,
(2)结论: .
(3)语言表述:
①以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标;
②一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_终点__的坐标减去_起点__的坐标.
【思考】
向量坐标与点的坐标的区别是什么?
提示:(1)表示形式不同.
向量(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.
(2)意义不同.
点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,向量(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.
4.线段定比分点坐标公式
设,点P(x,y)是直线上一点,且,则

特别地,当λ=1时,得到线段的中点M(x,y)的坐标公式

【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.
B. 向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化.
C. 两向量差的坐标与两向量的顺序无关.
D. 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标.
【答案】选ABC
提示:A×.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一样.
B×.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.
C×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.
D√.根据平面向量的坐标定义可知“平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标”正确.
题2.在平面直角坐标系中,已知点P(1,2),Q(4,3),那么向量________.
【解析】
答案:(3,1)
题3.设是平面直角坐标系内分别与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量,O为坐
标原点,若,则的坐标是________.
【解析】因为,所以.
答案:(7,6)
关键能力·合作学习
类型一 向量的坐标表示(数学抽象)
【题组训练】
题4.如图,以为基底,且,则向量a的坐标为 ( )
A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,-3) D.(-3,-1)

【解析】选A.因为分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,由题图
可知,根据平面向量坐标的定义可知(1,3).
题5.如果用分别表示x轴和y轴方向上的单位向量,且，那么可
以表示为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.记O为坐标原点,则,
所以.
题6.在平面直角坐标系xOy中,向量的方向如图所示,且,则的坐标为________,的坐标为________.

【解析】设点,因为,且∠AOx=45°,所以x=2cos 45°=,
y=2sin 45°=.又,∠xOB=90°+30°=120°,所以x0=3cos 120°=,
y0=3sin 120°=,故.
答案:
【解题策略】
求向量坐标的方法
(1)定义法:根据平面向量坐标的定义得,其中分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量.
(2)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.
(3)求差法:先求出这个向量的起点、终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标
即得该向量的坐标.
【补偿训练】
题7.如图所示,向量在边长为1的正方形网格中,则向量坐标为________,
________, ________.

【解析】以向量的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(向量坐标与坐标系选取无关),则.
答案:(-1,1) (6,2) (-1,-3)
题8.已知边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和与的坐标.

【解析】由题知B,D分别是30°角,120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1,y1),D(x2,y2).
由三角函数的定义,得x1=cos 30°=,y1=sin 30°=,所以.
x2=cos 120°= ,y2=sin 120°=,所以.
所以.
类型二 向量线性运算坐标表示(数学运算)
【典例】题9.已知点A(0,1),B(3,2),向量,则向量 ( )
A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)
【思路导引】根据向量减法的三角形法则,找到的关系,应用向量的加、减法坐标运算求坐标.
【解析】选A.(3,2)-(0,1)=(3,1),(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
题10.已知向量的坐标分别是(-1,5),(2,-7),求的坐标.
【思路导引】直接应用向量的加、减法坐标运算公式求坐标.
【解析】(-1,5)+(2,-7)=(1,-2),(-1,5)-(2,-7)=(-3,12).
【解题策略】
向量线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差和数乘的运算法则进行运算.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)求一个点的坐标,可以转化为求以原点为起点,该点为终点的向量的坐标.
【跟踪训练】
题11.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若,则
等于 ( )
A.(-2,-4) B.(4,-1) C.(3,5) D.(2,4)
【解析】选B.因为，所以,
所以.
【补偿训练】
题12.若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐标.
【解析】因为(-2,10),(-8,4),(-10,14),所以
(-2,10)+(-8,4)=(-10,14); (-8,4)-(-10,14)=(2,-10).
题13.已知向量,则 ( )
A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)
【解析】选D.因为,所以.
题14.已知A(1,2),B(-3,4),线段的中点坐标为 ( )
A.(-4,2) B.(4,2) C.(-1,3) D.(1,-3)
【解析】选C.由A(1,2),B(-3,4),则线段的中点坐标为.
类型三 线性运算坐标表示的应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】题15.已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-1, -2),B(3,-1),C(4,2),而且
A,B,C,D四点按逆时针方向排列.
(1)求向量的坐标;
(2)求点D的坐标.
【思路导引】(1)终点坐标减起点坐标求向量的坐标,同时注意与的关系;
(2)方法一:转化为求向量的坐标;
方法二:设点D的坐标,根据 的坐标列方程求未知数得出坐标.
【解析】(1)因为A(-1, -2),B(3,-1),C(4,2),
所以.

(2)方法一:由(1)知, 又因为，
所以，
所以点D的坐标为.
方法二:设点D坐标为，由(1)知，又A(-1, -2),
所以，所以所以
所以点D坐标为(0,1).
【变式探究】
题16. “已知平面上三个点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),且A,B,C,D四点构成平行四边形”,求点D的坐标.
【解析】设点D坐标为,分以下三种情况讨论:
(1)若四边形ABCD为平行四边形,得，
即，所以所以解得D(2,2).
(2)若四边形ABDC为平行四边形,得，
即，所以所以解得D(4,6).
(3)若四边形ADBC为平行四边形,得，
即，所以所以解得D(-6,0).
因此,使A,B,C,D四点构成平行四边形的点D的坐标是(2,2)或(4,6)或(-6,0).
【解题策略】
线性运算坐标表示的应用
(1)由向量的坐标定义知,两向量相等的充要条件是它们的坐标相等,即若
且
(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;也可以利用基向量法,主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则.
【跟踪训练】
题17.已知向量,若实数λ满足,
则λ+m等于 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选B.由向量的坐标运算法则可得,据此有
解得λ=5,m=1,所以λ+m=6.
题18.已知向量，若,且A(1,1),则向量的终点B的坐标为 ( )
A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)
【解析】选A. ，
设终点为,则，所以所以所以终点B的坐标为(9,1).
【补偿训练】
题19.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),
B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为________.
【解析】方法一:由题意知,四边形ABCD是平行四边形,所以，设D(x,y),
则(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),所以x=0,y=-2,即D(0,-2).
方法二:由题意知,四边形ABCD为平行四边形,
所以，即，
所以(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2),即D点的坐标为(0,-2).
答案:(0,-2)
课堂检测·素养达标
题20.给出下列几种说法:
①相等向量的坐标相同;
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;
③一个坐标对应唯一的一个向量;
④平面上一个点与以原点为起点,该点为终点的向量一一对应.
其中正确说法的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误.
题21.设点A(1,2),B(3,5),将向量按向量平移后得到为 ( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,7)
【解析】选B.因为A(1,2),B(3,5),所以(2,3),将向量按向量平移得到,知与的方向相同,大小也相等,只是位置不同,于是.
题22.在平面直角坐标系内,设与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为,若,则此向量用坐标表示________.
【解析】由于是两个互相垂直的单位向量,所以.
答案:(2,-1)
题23.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且,则________;
________;________.

【解析】由题意知,由正方形的对称性可知,B(1,-1),
所以,同理.
答案:(1,-1) (1,1) (-1,1)
题24.在下列各题中,已知向量 的坐标,分别求的坐标:
(1);
(2).
【解析】(1) (-2,1)+(3,5)=(-2+3,1+5)=(1,6).
(-2,1)-(3,5)=(-2-3,1-5)=(-5,-4).
(2) (-6,5)+(1,-6)=(-6+1,5-6)=(-5,-1).
(-6,5)-(1,-6)=(-6-1,5-(-6))=(-7,11).

编号：006 课题:§9.3.2 向量坐标表示与线性运算
目标要求
1、理解并掌握向量的坐标表示与运算的概念．
2、理解向量的坐标表示．
3、理解向量线性运算坐标表示．
4、理解并掌握线性运算坐标表示的应用.
学科素养目标
向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．
重点难点
重点：向量线性运算坐标表示；
难点：线性运算坐标表示的应用．
教学过程
基础知识点
1.平面向量的坐标表示
(1)产生过程
单位向量
建系
选底
在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个___单位向量___分别
为作为基底
线性
表示
对于平面内的任意一个向量,有且只有一对实数x,y,使得_____
定义
坐标
有序数对(x,y)叫作向量的坐标,记作___①,其中x叫作在
x轴上的坐标,y叫作在y轴上的坐标.①叫作向量的坐标表示
特例

(2)本质:向量的坐标表示实现了向量的“量化”表示.
(3)应用:为向量的坐标运算奠定基础.
2.向量线性运算的坐标表示
条件

结论
;
;
3.向量坐标与点的坐标的联系
(1)条件: ,
(2)结论: .
(3)语言表述:
①以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标;
②一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_终点__的坐标减去_起点__的坐标.
【思考】
向量坐标与点的坐标的区别是什么?
提示:(1)表示形式不同.
向量(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.
(2)意义不同.
点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,向量(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.
4.线段定比分点坐标公式
设,点P(x,y)是直线上一点,且,则

特别地,当λ=1时,得到线段的中点M(x,y)的坐标公式

【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题错误的是 ( )
A. 两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同.
B. 向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化.
C. 两向量差的坐标与两向量的顺序无关.
D. 平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标.
【答案】选ABC
提示:A×.对于同一个向量,无论位置在哪里,坐标都一样.
B×.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变.
C×.根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关.
D√.根据平面向量的坐标定义可知“平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标”正确.
题2.在平面直角坐标系中,已知点P(1,2),Q(4,3),那么向量________.
【解析】
答案:(3,1)
题3.设是平面直角坐标系内分别与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量,O为坐
标原点,若,则的坐标是________.
【解析】因为,所以.
答案:(7,6)
关键能力·合作学习
类型一 向量的坐标表示(数学抽象)
【题组训练】
题4.如图,以为基底,且,则向量a的坐标为 ( )
A.(1,3) B.(3,1) C.(-1,-3) D.(-3,-1)

【解析】选A.因为分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,由题图
可知,根据平面向量坐标的定义可知(1,3).
题5.如果用分别表示x轴和y轴方向上的单位向量,且，那么可
以表示为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.记O为坐标原点,则,
所以.
题6.在平面直角坐标系xOy中,向量的方向如图所示,且,则的坐标为________,的坐标为________.

【解析】设点,因为,且∠AOx=45°,所以x=2cos 45°=,
y=2sin 45°=.又,∠xOB=90°+30°=120°,所以x0=3cos 120°=,
y0=3sin 120°=,故.
答案:
【解题策略】
求向量坐标的方法
(1)定义法:根据平面向量坐标的定义得,其中分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量.
(2)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标.
(3)求差法:先求出这个向量的起点、终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标
即得该向量的坐标.
【补偿训练】
题7.如图所示,向量在边长为1的正方形网格中,则向量坐标为________,
________, ________.

【解析】以向量的终点为原点,过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系(向量坐标与坐标系选取无关),则.
答案:(-1,1) (6,2) (-1,-3)
题8.已知边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和与的坐标.

【解析】由题知B,D分别是30°角,120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1,y1),D(x2,y2).
由三角函数的定义,得x1=cos 30°=,y1=sin 30°=,所以.
x2=cos 120°= ,y2=sin 120°=,所以.
所以.
类型二 向量线性运算坐标表示(数学运算)
【典例】题9.已知点A(0,1),B(3,2),向量,则向量 ( )
A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)
【思路导引】根据向量减法的三角形法则,找到的关系,应用向量的加、减法坐标运算求坐标.
【解析】选A.(3,2)-(0,1)=(3,1),(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).
题10.已知向量的坐标分别是(-1,5),(2,-7),求的坐标.
【思路导引】直接应用向量的加、减法坐标运算公式求坐标.
【解析】(-1,5)+(2,-7)=(1,-2),(-1,5)-(2,-7)=(-3,12).
【解题策略】
向量线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差和数乘的运算法则进行运算.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)求一个点的坐标,可以转化为求以原点为起点,该点为终点的向量的坐标.
【跟踪训练】
题11.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线.若,则
等于 ( )
A.(-2,-4) B.(4,-1) C.(3,5) D.(2,4)
【解析】选B.因为，所以,
所以.
【补偿训练】
题12.若A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐标.
【解析】因为(-2,10),(-8,4),(-10,14),所以
(-2,10)+(-8,4)=(-10,14); (-8,4)-(-10,14)=(2,-10).
题13.已知向量,则 ( )
A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)
【解析】选D.因为,所以.
题14.已知A(1,2),B(-3,4),线段的中点坐标为 ( )
A.(-4,2) B.(4,2) C.(-1,3) D.(1,-3)
【解析】选C.由A(1,2),B(-3,4),则线段的中点坐标为.
类型三 线性运算坐标表示的应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】题15.已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-1, -2),B(3,-1),C(4,2),而且
A,B,C,D四点按逆时针方向排列.
(1)求向量的坐标;
(2)求点D的坐标.
【思路导引】(1)终点坐标减起点坐标求向量的坐标,同时注意与的关系;
(2)方法一:转化为求向量的坐标;
方法二:设点D的坐标,根据 的坐标列方程求未知数得出坐标.
【解析】(1)因为A(-1, -2),B(3,-1),C(4,2),
所以.

(2)方法一:由(1)知, 又因为，
所以，
所以点D的坐标为.
方法二:设点D坐标为，由(1)知，又A(-1, -2),
所以，所以所以
所以点D坐标为(0,1).
【变式探究】
题16. “已知平面上三个点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),且A,B,C,D四点构成平行四边形”,求点D的坐标.
【解析】设点D坐标为,分以下三种情况讨论:
(1)若四边形ABCD为平行四边形,得，
即，所以所以解得D(2,2).
(2)若四边形ABDC为平行四边形,得，
即，所以所以解得D(4,6).
(3)若四边形ADBC为平行四边形,得，
即，所以所以解得D(-6,0).
因此,使A,B,C,D四点构成平行四边形的点D的坐标是(2,2)或(4,6)或(-6,0).
【解题策略】
线性运算坐标表示的应用
(1)由向量的坐标定义知,两向量相等的充要条件是它们的坐标相等,即若
且
(2)利用向量的坐标运算解题,主要是根据相等的向量坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解;也可以利用基向量法,主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则.
【跟踪训练】
题17.已知向量,若实数λ满足,
则λ+m等于 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】选B.由向量的坐标运算法则可得,据此有
解得λ=5,m=1,所以λ+m=6.
题18.已知向量，若,且A(1,1),则向量的终点B的坐标为 ( )
A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)
【解析】选A. ，
设终点为,则，所以所以所以终点B的坐标为(9,1).
【补偿训练】
题19.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),
B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为________.
【解析】方法一:由题意知,四边形ABCD是平行四边形,所以，设D(x,y),
则(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),所以x=0,y=-2,即D(0,-2).
方法二:由题意知,四边形ABCD为平行四边形,
所以，即，
所以(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2),即D点的坐标为(0,-2).
答案:(0,-2)
课堂检测·素养达标
题20.给出下列几种说法:
①相等向量的坐标相同;
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标;
③一个坐标对应唯一的一个向量;
④平面上一个点与以原点为起点,该点为终点的向量一一对应.
其中正确说法的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误.
题21.设点A(1,2),B(3,5),将向量按向量平移后得到为 ( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,7)
【解析】选B.因为A(1,2),B(3,5),所以(2,3),将向量按向量平移得到,知与的方向相同,大小也相等,只是位置不同,于是.
题22.在平面直角坐标系内,设与x轴,y轴方向相同的两个单位向量分别为,若,则此向量用坐标表示________.
【解析】由于是两个互相垂直的单位向量,所以.
答案:(2,-1)
题23.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且,则________;
________;________.

【解析】由题意知,由正方形的对称性可知,B(1,-1),
所以,同理.
答案:(1,-1) (1,1) (-1,1)
题24.在下列各题中,已知向量 的坐标,分别求的坐标:
(1);
(2).
【解析】(1) (-2,1)+(3,5)=(-2+3,1+5)=(1,6).
(-2,1)-(3,5)=(-2-3,1-5)=(-5,-4).
(2) (-6,5)+(1,-6)=(-6+1,5-6)=(-5,-1).
(-6,5)-(1,-6)=(-6-1,5-(-6))=(-7,11).