苏教版 (2019)9.3 向量基本定理及坐标表示多媒体教学ppt课件

9.3.2　向量坐标表示与运算

第1课时　向量的坐标表示

知识点1　向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj．我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．

1．在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1，1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1，1)，则向量a的位置确定了吗？

[提示]　对于A点，若给定坐标为A(1，1)，则A点位置确定．对于向量a，给定的坐标为a＝(1，1)，此时给出了a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不相同． (　　)

(2)向量的坐标就是向量终点的坐标． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×

知识点2　向量线性运算的坐标表示

(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．

(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．

2．设i，j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？

[提示]　a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，

a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，λa＝λx1i＋λy1j．

2．若A(2，－1)，B(－1，3)，则的坐标是(　　)

A．(1，2)　　　　 B．(－1，－2)

C．(－3，4)   D．(3，－4)

C　[＝－＝(－1，3)－(2，－1)＝(－3，4)．]

3．若a＝(－1，2)，b＝(3，4)，则a＋b＝______；a－b＝________；3a＝________；－5b＝________．

(2，6)　(－4，－2)　(－3，6)　(－15，－20)　[a＋b＝(2，6)，a－b＝(－4，－2)，3a＝(－3，6)，－5b＝(－15，－20)．]

类型1　平面向量的坐标表示

【例1】　(对接教材P28例1)在直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图，|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．

[解]　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由于向量a相对于x轴正方向的转角为45°，

所以a1＝|a|cos 45°＝4×＝2，a2＝|a|sin 45°＝4×＝2．

可以求得向量b相对于x轴正方向的转角为120°，

所以b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，

b2＝|b|sin 120°＝3×＝．

故a＝(2，2)，b＝．

求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.

[跟进训练]

1．在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向和长度如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别求它们的坐标．

[解]　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，则

a1＝|a|cos 45°＝2×＝，

a2＝|a|sin 45°＝2×＝；

b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，

b2＝|b|sin 120°＝3×＝；

c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，

c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2．

因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．

类型2　平面向量的坐标运算

【例2】　已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，，＋，2＋．

[解]　∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，

∴＝(3，－1)，＝(－3，2)，

＋＝(0，1)，

2＋＝(6，－2)＋＝．

平面向量坐标的线性运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．

[跟进训练]

2．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N的坐标和的坐标．

[解]　因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，

所以＝(1，8)，＝(6，3)．

设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)．

由＝3得(x＋3，y＋4)＝3(1，8)，

即

解得即M(0，20)．

同理可得N(9，2)，

所以＝(9，－18)．

类型3　平面向量线性运算的坐标应用

【例3】　已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及＝＋t，试问：

(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？

(2)四边形OABP是否能成为平行四边形？若能，则求出t的值．若不能，说明理由．

以坐标轴上点的坐标特征为切入点求解t的值；结合平行四边形的向量表达式建立参数t的表达式．

[解]　(1)＝(3，3)，

＝＋t＝(1＋3t，2＋3t)，

则P(1＋3t，2＋3t)．

若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；

若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－．

(2)因为＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)，

若OABP是平行四边形，则＝，

所以此方程组无解；

故四边形OABP不可能是平行四边形．

已知含参的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横纵坐标满足的条件，建立关于参数的方程组或不等式组，求解即可.

提醒：要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.

[跟进训练]

3．已知点A(－1，2)，B(2，8)及＝，＝－，求点C，D及的坐标．

[解]　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6)．

∵＝，＝－，

∴(x1＋1，y1－2)＝(3，6)＝(1，2)，

(－1－x2，2－y2)＝－(－3，－6)＝(1，2)，

则有和

解得和

∴C，D的坐标分别为(0，4)和(－2，0)．

因此＝(－2，－4)．

1．已知＝(1，3)，且点A(－2，5)，则点B的坐标为(　　)

A．(1，8)  B．(－1，8)  C．(3，2)  D．(－3，2)

B　[∵＝－，

∴＝＋＝(－2，5)＋(1，3)＝(－1，8)，故选B．]

2．若a＝(3，4)，b＝(－1，5)，则3a－2b的坐标为(　　)

A．(7，22)   B．(11，2)

C．(－11，－2)　   D．(－7，－22)

B　[3a－2b＝3(3，4)－2(－1，5)＝(9，12)－(－2，10)＝(11，2)．故选B．]

3．(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．向量的坐标即此向量终点的坐标

B．位置不同的向量其坐标可能相同

C．一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标

D．相等的向量坐标一定相同

BD　[向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是BD．]

4．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是________．

　[∵＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)，∴＝．]

5．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则的坐标为________．

(－3，－5)　[由题意可得＝＝－＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)，∴＝－＝(－1，－1)－(2，4)＝(－3，－5)．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．点的坐标与向量的坐标有何区别？

[提示]　(1)向量a＝(x，y)中间用等号连结，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．

(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．

(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)．

2．向量与其终点坐标是一一对应关系吗？

[提示]　不是一一对应关系，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标是一一对应关系．

3．平面向量加、减、数乘运算的坐标如何运算？

[提示]