向量基本定理及坐标表示PPT课件免费下载2023

第九章 平面向量

9.3.1 平面向量基本定理

一、【学习目标】

教材用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的．

1.教学重点：会用向量方法计算或证明几何中的相关问题.

2.教学难点：体会向量在解决数学和实际问题中的作用.

多媒体调试、讲义分发。

二、【课程的主要内容】

音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.

在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？

问题1 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？

提示 能.依据是数乘向量和平行四边形法则.

问题2 如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？

提示 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.

平面向量基本定理

定理中要特别注意向量e1与向量e2是两个不共线的向量

题型一 平面向量基本定理的理解

【例1】 如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.

(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；

(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；

(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；

(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.

解 (1)正确.若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.

(2)不正确.由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定.

(3)正确.平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立.

(4)不正确.结合向量加法的平行四边形法则易知，当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2便唯一确定.

规律方法 (1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.

(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，

【训练1】 设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )

A.e1＋e2和e1－e2

B.3e1－4e2和6e1－8e2

C.e1＋2e2和2e1＋e2

D.e1和e1＋e2

解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.

答案 B

题型二 用基底表示向量

【例2】 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.

解 法一 由题意知，

＝＝＝a，

＝＝＝b.

所以＝＋＝－＝a－b，

＝＋＝a＋b.

法二 设＝x，＝y，则＝＝y，

又则

所以x＝a－b，y＝a＋b，

即＝a－b，＝a＋b.

三、【拓展学习】

规律方法 用基底表示向量的方法

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.

【训练2】 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.

解 法一 ∵＝e2，＝k，

∴＝k＝ke2.

∵＋＋＋＝0，

∴＝－－－

＝－＋＋＝e1＋(k－1)e2.

又＋＋＋＝0，

且＝－，＝，

∴＝－－－

＝－＋＋＝e2.

法二 同法一得＝ke2，

＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，

由＝(＋)得

＝(＋＋＋)＝(＋)＝e2.

题型三 平面向量基本定理的综合应用

【例3】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.

解 设＝e1，＝e2，

则＝＋＝－3e2－e1，

＝＋＝2e1＋e2.

∵A，P，M和B，P，N分别共线，

∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，

＝μ＝2μe1＋μe2.

故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.

而＝＋＝2e1＋3e2，

由平面向量基本定理，得解得

∴＝，＝，

∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.

【迁移】 (变设问)在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.

解 由典例解析知BP∶PN＝，

则＝，

＝＋＝＋

＝b＋(－)

＝b＋a－b＝b＋a.

规律方法 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.

【训练3】 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.

解析 设＝a，＝b，

则＝a＋b，＝a＋b，

又∵＝a＋b，∴＝(＋)，

即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.

答案

二、检测反馈

1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )

A.e1－e2，e2－e1    B.2e1－e2，e1－e2

C.2e2－3e1，6e1－4e2   D.e1＋e2，e1－e2

解析 选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.

答案 D

2.如图所示，矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则等于( )

A.(5e1＋3e2)  B.(5e－3e2)

C.(2e2＋5e1)  D.(5e2＋3e1)

解析 ＝＝(－)＝(＋)

＝(5e1＋3e2).

答案 A

3.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.

解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，

又∵与不共线，∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝.

答案

4.在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以＝e1，＝e2为基底表示.

解 ＝－＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以＝＝(e1－e2)，所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2..

向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现．