高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示评课ppt课件

9.3.3　向量平行的坐标表示

知识点　向量平行的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b．

当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？

[提示]　坐标不为0时成正比例．

1．下列各组向量中，共线的是(　　)

A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)

B．a＝(2，3)，b＝(3，2)

C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)

D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)

D　[∵在D中，b＝(6，－4)，a＝(－3，2)，

∴b＝－2(－3，2)＝－2a，

∴a与b共线．]

2．若a＝(2，3)，b＝(x，6)，且a∥b，则x＝______．

4　[∵a∥b，

∴2×6－3x＝0，即x＝4．]

类型1　向量平行的判定

【例1】　已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，判断与是否平行？如果平行，它们的方向相同还是相反？

[解]　∵A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，

∴＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，

＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．

∵(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4＜0，

∴与平行且方向相反．

此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断.

提醒：利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配.

[跟进训练]

1．已知A，B，C三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝，求证：∥ ．

[证明]　设点E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．

依题意有，＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)．

∵＝，

∴(x1＋1，y1)＝(2，2)，

∴点E的坐标为，

同理点F的坐标为，

∴＝．

又×(－1)－4×＝0，

∴∥．

类型2　利用向量共线求参数的值

【例2】　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？

[解]　法一：ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，

a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，

当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，

使ka＋b＝λ(a－3b)．

即(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，

所以解得k＝λ＝－．

当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，

这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，

因为λ＝－<0，

所以ka＋b与a－3b反向．

法二：由题知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，

a－3b＝(10，－4)．

因为ka＋b与a－3b平行，

所以(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，

解得k＝－．

这时ka＋b＝＝－(a－3b)．

所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．

1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路：一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解；二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．

2．利用x1y2－x2y1＝0求解向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．

[跟进训练]

2．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，求实数x的值．

[解]　因为a＝(1，1)，b＝(2，x)，

所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6，4x－2)，

由a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2．

类型3　共线向量与定比分点公式

【例3】　(对接教材P30例4)已知两点A(3，－4)，B(－9，2)在直线AB上，求一点P使||＝||．

以A、B、P三点共线及||＝||为切入点，思考与的关系，进而求出点P的坐标.

[解]　设点P的坐标为(x，y)，

①若点P在线段AB上，则＝，

∴(x－3，y＋4)＝(－9－3，2＋4)，

解得x＝－1，y＝－2，

∴P(－1，－2)．

②若点P在线段BA的延长线上，则＝－，

∴(x－3，y＋4)＝－(－9－3，2＋4)，

解得x＝7，y＝－6，

∴P(7，－6)．

综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．

若＝λ，则当λ≠－1时，可以推导出此公式为线段定比分点坐标公式，因此点P的坐标为P.

[跟进训练]

3．已知线段AB的端点分别为A(x，5)，B(－2，y)，C(1，1)是直线AB上的点，且有||＝2||，求x，y的值．

[解]　由||＝2||，且点C在直线AB上，得＝±2．

由题意，得＝(1－x，1－5)＝(1－x，－4)，2＝2(1＋2，1－y)＝(6，2－2y)．

①当＝2时，有解得

②当＝－2时，有解得

综合①②可知或

1．(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．存在向量a与任何向量都是平行向量

B．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝

C．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0

D．如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且＝，则a∥b

ACD　[A正确，当a是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；B不正确，当y1＝0或y2＝0时，显然不能用＝来表示；C、D正确．故选ACD．]

2．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为(　　)

A．－1  B．－  C．  D．1

B　[∵u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)，

v＝(2，4)－(0，1)＝(2，3)，且u∥v，

∴1×3＝2×(2＋k)，得k＝－．故选B．]

3．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)

A．－13  B．9  C．－9  D．13

C　[设C点坐标为(6，y)，则＝(3，y＋6)．

∵A，B，C三点共线，＝(－8，8)，∴＝，∴y＝－9．]

4．已知四点A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，－4)，则与的关系是________．(填“共线”或“不共线”)

共线　[＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)，

＝(－7，－4)－(1，4)＝(－8，－8)，

因为4×(－8)－4×(－8)＝0，

所以∥，即与共线．]

5．若P1(1，2)，P(3，2)，且＝2，则P2的坐标为________．

(4，2)　[设P2(x，y)，则＝(2，0)，

＝(x－3，y－2)，2＝(2x－6，2y－4)．

由＝2可得

解得]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b及a⊥b的条件分别是什么？

[提示]　

2．若点P(x，y)是线段P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何用P1，P2的坐标表示点P的坐标？

[提示]　P，因为＝，

所以(x－x1，y－y1)＝(x2－x1，y2－y1)，

∴x＝，y＝．

3．在△ABC中，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标如何表示？

[提示]　△ABC的重心坐标G．