高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示教学ppt课件

第九章　平面向量

9.3.3　平面向量数量积的坐标表示

本章要求学生掌握向量的线性运算(加、减、数乘)和数量积的运算，有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现数学结论，以及建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力，提高学生的数学素养．理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

1.教学重点：会进行平面向量数量积的坐标运算.

2.教学难点：能运用坐标表示两个向量的夹角和模.

多媒体调试、讲义分发。

“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究.

问题　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？

提示　由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，

则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.

由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，

故a·b＝8.

8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2.

1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

2.与向量的模、夹角相关的三个重要公式

数量积的主要应用有求模、求夹角、判断垂直，而此三个公式是解决此类问题的重要依据

(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.

(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.

(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.

题型一　平面向量数量积的坐标运算

【例1】　已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)

A.10   B.－10   C.3   D.－3

解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.

答案　B

规律方法　进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：

①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.

【训练1】　已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.

(1)求a的坐标；

(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.

解　(1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).

(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，

∴a(b·c)＝0a＝0，

(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).

题型二　两向量的夹角的坐标表示

【例2】　已知＝(2，1)，＝(1，7)，＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).

(1)求使·取得最小值时的；

(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.

解　(1)∵点C是直线OP上的一点，

∴向量与共线，

设＝t(t∈R)，则＝t(2，1)＝(2t，t)，

∴＝－＝(1－2t，7－t)，

＝－＝(5－2t，1－t)，

∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)

＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.

∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4，2).

(2)由(1)知＝(4，2)，

∴＝(－3，5)，＝(1，－1)，

∴||＝，||＝，·＝－3－5＝－8.

∴cos∠ACB＝＝－.

规律方法　应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角.

【训练2】　已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).

(1)试计算a·b及|a＋b|的值；

(2)求向量a与b夹角的余弦值.

解　(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，

b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，

∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，

|a＋b|＝＝＝.

(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cos θ，

∴cos θ＝＝＝.

题型三　向量垂直的坐标表示

【例3】　已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标.

解　设D点坐标为(x，y)，

则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，

＝(x－3，y－2)，

∵D在直线BC上，即与共线，

∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.①

又∵AD⊥BC，∴·＝0，

即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，

∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.

即2x＋y－3＝0.②

由①②可得

∴||＝＝，

即||＝，点D的坐标为(1，1).

规律方法　将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法.

【训练3】　已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.

解　设向量b＝(x，y).

根据题意，得·＝0，||＝||.

∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，

∴|a|＝|b|，a·b＝0.

又∵a＝，即解得或

∴b＝或b＝.

二、检测反馈

1.若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝(　　)

A.3   B.－3   C.   D.－

解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.

答案　A

2.已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝(　　)

A.   B.   C.   D.

解析　cos θ＝＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.

答案　D

3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)

A.1   B.   C.2   D.4

解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±.

∴|a|＝＝2.

答案　C

4.已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝(　　)

A.(－3，6)    B.(3，－6)

C.(6，－3)    D.(－6，3)

解析　由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，由于|b|＝3.

∴|b|＝＝＝3，∴λ＝－3，即b＝(－3，6).

答案　A

注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.