高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后练习题，共6页。

[合格基础练]
一、选择题
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为( )
A.eq \r(,5) B．－eq \r(,5) C．1 D．－1
D [向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为：eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(3－8,5)＝－1，故选D.]
2．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝( )
A．3＋eq \r(,10) B．3－eq \r(,10)
C．3±eq \r(,10) D．－3±eq \r(,10)
C [∵a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，∴a＋c＝(1＋m，m)，a－b＝(－1，m－5)，
∵(a＋c)⊥(a－b)，∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得：m＝3±eq \r(,10).]
3．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( )
A．23 B．57 C．63 D．83
D [因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，
a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，
所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.]
4．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sin θ等于( )
A.eq \f(\r(10),10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3\r(10),10) D.eq \f(4,5)
A [设b＝(x，y)，则
a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3x＝5，,1＋3y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))
即b＝(1,1)，
所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3,\r(10))，
所以sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(\r(10),10).]
5．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于( )
A．(2,1) B．(1,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2))) D．(0，－1)
A [设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，
因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，
因为(c－a)∥b，所以eq \f(x－1,1)＝eq \f(y＋1,2)，即2x－y－3＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－1＝0，,2x－y－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))所以c＝(2,1)．]
二、填空题
6．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________.
－1或2 [已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，根据向量的坐标运算公式得x2－x－2＝0，解得x＝－1或2.]
7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．
19 [ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]
8．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．
－eq \f(4\r(65),65) [不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，
所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，
所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，
|a＋b|＝eq \r(26)，|a－b|＝eq \r(10)，
所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为eq \f(－8,\r(26)·\r(10))＝－eq \f(4\r(65),65).]
三、解答题
9．已知向量a，b满足|a|＝eq \r(5)，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.
(1)求向量a的坐标；
(2)求向量a与b的夹角．
[解] (1)设a＝(x，y)，
因为|a|＝eq \r(5)，则eq \r(x2＋y2)＝eq \r(5)，①
又因为b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b，
2a＋b＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1,2y－3)，
所以(2x＋1,2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②
由①②解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))
所以a＝(1,2)或a＝(－2,1)．
(2)设向量a与b的夹角为θ，
所以cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1，2·1，－3,\r(1＋22)\r(1＋－32))＝－eq \f(\r(2),2)或cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2，1·1，－3,\r(1＋22)\r(1＋－32))＝－eq \f(\r(2),2)，
因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角θ＝eq \f(3π,4).
10．在△ABC中，eq \(AB,\s\up14(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up14(→))＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
[解] ∵eq \(AB,\s\up14(→))＝(2,3)，eq \(AC,\s\up14(→))＝(1，k)，
∴eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，
则eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AC,\s\up14(→))＝2×1＋3×k＝0，
∴k＝－eq \f(2,3)；
若∠B＝90°，则eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(BC,\s\up14(→))＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝eq \f(11,3)；
若∠C＝90°，则eq \(AC,\s\up14(→))·eq \(BC,\s\up14(→))＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝eq \f(3±\r(13),2).
综上，k的值为－eq \f(2,3)或eq \f(11,3)或eq \f(3±\r(13),2).
[等级过关练]
1．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A．λ＞1 B．λ＜1
C．λ＜－1 D．λ＜－1或－1＜λ＜1
D [由题意可得：a·b＝λ－1＜0，解得：λ＜1，且a与b的夹角不能为180°，即eq \f(1,λ)≠eq \f(－1,1)，∴λ≠－1，据此可得λ的取值范围是λ＜－1或－1＜λ＜1.]
2．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|eq \(PA,\s\up14(→))＋3eq \(PB,\s\up14(→))|的最小值为( )
A．3 B．5
C．7 D．8
B [如图，以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，则A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，P(0，x)(0≤x≤a)，则eq \(PA,\s\up14(→))＋3eq \(PB,\s\up14(→))＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a－4x)，
所以|eq \(PA,\s\up14(→))＋3eq \(PB,\s\up14(→))|＝eq \r(25＋3a－4x2)≥5.]
3．如图所示，已知点A(1,1)，单位圆上半部分上的点B满足eq \(OA,\s\up14(→))·eq \(OB,\s\up14(→))＝0，则向量eq \(OB,\s\up14(→))的坐标为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))) [根据题意可设B(cs θ，sin θ)(0＜θ＜π)，
eq \(OA,\s\up14(→))＝(1,1)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(cs θ，sin θ)．
由eq \(OA,\s\up14(→))·eq \(OB,\s\up14(→))＝0得sin θ＋cs θ＝0，tan θ＝－1，
所以θ＝eq \f(3π,4)，cseq \f(3π,4)＝－eq \f(\r(2),2)，sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2)，
所以eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).]
4．已知向量eq \(OA,\s\up14(→))＝(2,2)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(4,1)，在x轴上存在一点P使eq \(AP,\s\up14(→))·eq \(BP,\s\up14(→))有最小值，则点P的坐标是________．
(3,0) [设点P的坐标是(x,0)，则eq \(AP,\s\up14(→))＝(x－2，－2)，eq \(BP,\s\up14(→))＝(x－4，－1)，
所以eq \(AP,\s\up14(→))·eq \(BP,\s\up14(→))＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
当x＝3时，eq \(AP,\s\up14(→))·eq \(BP,\s\up14(→))取得最小值，故点P的坐标为(3,0)．]
5．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
[解] (1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴eq \(AB,\s\up14(→))＝(1,1)，eq \(AD,\s\up14(→))＝(－3,3)，
又∵eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(AD,\s\up14(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴eq \(AB,\s\up14(→))⊥eq \(AD,\s\up14(→))，即AB⊥AD.
(2)eq \(AB,\s\up14(→))⊥eq \(AD,\s\up14(→))，四边形ABCD为矩形，
∴eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(DC,\s\up14(→)).
设C点坐标为(x，y)，则eq \(AB,\s\up14(→))＝(1,1)，eq \(DC,\s\up14(→))＝(x＋1，y－4)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝1，,y－4＝1，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝5.))
∴C点坐标为(0,5)．
由于eq \(AC,\s\up14(→))＝(－2,4)，eq \(BD,\s\up14(→))＝(－4,2)，
所以eq \(AC,\s\up14(→))·eq \(BD,\s\up14(→))＝8＋8＝16＞0，
|eq \(AC,\s\up14(→))|＝2eq \r(5)，|eq \(BD,\s\up14(→))|＝2eq \r(5).
设eq \(AC,\s\up14(→))与eq \(BD,\s\up14(→))夹角为θ，则
cs θ＝eq \f(\(AC,\s\up14(→))·\(BD,\s\up14(→)),|\(AC,\s\up14(→))|·|\(BD,\s\up14(→))|)＝eq \f(16,20)＝eq \f(4,5)＞0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为eq \f(4,5).