苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数精品练习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数精品练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．cs(x＋27°)cs(18°－x)－sin(18°－x)sin(x＋27°)等于( )


A．0 B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)


C [原式＝cs(x＋27°＋18°－x)＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).]


2．若x∈[0，π]，sin eq \f(x,3)sin eq \f(2x,3)＝cs eq \f(x,3)cs eq \f(2x,3)，则x的值是( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)


D [∵cs eq \f(x,3)cs eq \f(2x,3)－sin eq \f(x,3)sin eq \f(2x,3)＝0，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)＋\f(2x,3)))＝0，∴cs x＝0.


∵x∈[0，π]，∴x＝eq \f(π,2).]


3．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为eq \f(3,5)，点B的横坐标为eq \f(5,13)，则cs(α－β)＝( )





A．eq \f(16,65)B．－eq \f(16,65)


C．eq \f(56,65)D．－eq \f(56,65)


C [易知sin α＝eq \f(3,5)，cs β＝eq \f(5,13)，又∵α，β为锐角，


∴cs α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(12,13)，∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＋eq \f(3,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(56,65).]


4．已知向量a＝(cs 75°，sin 75°)，b＝(cs 15°，sin 15°)，则|a－b|＝( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2) C．eq \f(\r(3),2) D．1


D [|a|＝1，|b|＝1，a·b＝cs 75° cs 15°＋sin 75° sin 15°＝cs(75°－15°)＝cs 60°＝eq \f(1,2).


∴|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1－2×\f(1,2)＋1)＝1.]


5．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cs α＋cs β＋cs γ＝0，则cs(α－β)＝( )


A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)


C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(\r(3),2)


B [由题意，知sin α＋sin β＝－sin γ，①


cs α＋cs β＝－cs γ.②


①2＋②2，得2＋2cs(α－β)＝1，所以cs(α－β)＝－eq \f(1,2).]


二、填空题


6．已知cs α＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝________.


eq \f(1＋6\r(2),10) [因为cs α＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(2))＝eq \f(2\r(6),5)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs αcs eq \f(π,3)＋sin αsin eq \f(π,3)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(2\r(6),5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1＋6\r(2),10).]


7．在△ABC中，若sin Asin B＜cs Acs B，则△ABC一定为________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)


钝角 [由sin Asin B＜cs Acs B得


cs(A＋B)＞0，


∴cs C＜0.


∴C＞90°，∴△ABC为钝角三角形．]


8．已知a＝(cs α，sin β)，b＝(cs β，sin α)，0<β<α

eq \f(π,3) [a·b＝cs αcs β＋sin αsin β＝cs(α－β)＝eq \f(1,2)，


又0<β<α

所以0<α－β

三、解答题


9．设cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(1,9)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，其中α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求cseq \f(α＋β,2)的值．


[解] ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


∴α－eq \f(β,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，eq \f(α,2)－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,2)))，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))＝eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2))))＝eq \r(1－\f(1,81))＝eq \f(4\r(5),9)，


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β)))＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3).


∴cseq \f(α＋β,2)＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(β,2)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)－β))


＝－eq \f(1,9)×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(4\r(5),9)×eq \f(2,3)＝eq \f(7\r(5),27).


10．已知函数f (x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(其中ω＞0，x∈R)的最小正周期为10π.


(1)求ω的值；


(2)设α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))＝－eq \f(6,5)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))＝eq \f(16,17)，求cs(α＋β)的值．


[解] (1)∵f (x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(ω＞0)的最小正周期T＝10π＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝eq \f(1,5).


(2)由(1)知f (x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)x＋\f(π,6)))，


而α，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))＝－eq \f(6,5)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))＝eq \f(16,17)，


∴2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5α＋\f(5π,3)))＋\f(π,6)))＝－eq \f(6,5)，


2cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5β－\f(5π,6)))＋\f(π,6)))＝eq \f(16,17)，


即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－eq \f(3,5)，cs β＝eq \f(8,17)，


于是sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，sin β＝eq \f(15,17)，


∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(4,5)×eq \f(8,17)－eq \f(3,5)×eq \f(15,17)＝－eq \f(13,85).





1．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cs A，sin A)，b＝(cs B，sin B)且a·b＝1，则△ABC一定是( )


A．直角三角形 B．等腰三角形


C．等边三角形D．等腰直角三角形


B [因为a·b＝cs Acs B＋sin Asin B＝cs(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．]


2．(多选题)若cs 5xcs(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝0，则x的值可能是( )


A．eq \f(π,10) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,2) D．－eq \f(π,6)


BCD [因为cs 5xcs(－2x)－sin(－5x)sin 2x＝cs 5xcs 2x＋sin 5xsin 2x＝cs(5x－2x)＝cs 3x＝0，所以3x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z，


所以当k＝0时，x＝eq \f(π,6).当k＝1时，x＝eq \f(π,2).当k＝－1时， x＝－eq \f(π,6)，故选BCD．]


3．已知点P(1，eq \r(2))是角α终边上一点，则cs(30°－α)＝________.


eq \f(3＋\r(6),6) [由已知sin α＝eq \f(\r(6),3)，cs α＝eq \f(\r(3),3)，


cs(30°－α)＝cs 30° cs α＋sin 30°sin α＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(3＋\r(6),6).]


4．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,4)，则cs α＋eq \r(3)sin α＝________.


eq \f(1,2) [sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))


＝cseq \f(π,3)cs α＋sineq \f(π,3)sin α


＝eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α


＝eq \f(1,2)(cs α＋eq \r(3)sin α)＝eq \f(1,4)，


∴cs α＋eq \r(3)sin α＝eq \f(1,2).]


5．已知sin α＋sin β＝eq \f(\r(2),2)，求cs α＋cs β的取值范围．


[解] 由sin α＋sin β＝eq \f(\r(2),2)，


平方可得


sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝eq \f(1,2)，①


设cs α＋cs β＝m，平方可得


cs2α＋2cs αcs β＋cs2β＝m2，②


①＋②得2＋2cs αcs β＋2sin αsin β＝eq \f(1,2)＋m2，


即m2＝eq \f(3,2)＋2cs(α－β)．


∵cs(α－β)∈[－1，1]，


∴m2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(7,2)))，


∴0≤m2≤eq \f(7,2)，∴－eq \f(\r(14),2)≤m≤eq \f(\r(14),2)，


故cs α＋cs β的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(14),2)，\f(\r(14),2))).