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高中9.3 向量基本定理及坐标表示精品练习题
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一、选择题
1.设a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),则(a+b)·(a-c)等于( )
A.14 B.11 C.10 D.5
B [a+b=(4,-1),a-c=(2,-3),
∴(a+b)·(a-c)=2×4+(-1)×(-3)=11.]
2.已知eq \(AB,\s\up8(→))=(2,3),eq \(AC,\s\up8(→))=(3,t),|eq \(BC,\s\up8(→))|=1,则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))=( )
A.-3B.-2
C.2D.3
C [因为eq \(BC,\s\up8(→))=eq \(AC,\s\up8(→))-eq \(AB,\s\up8(→))=(1,t-3),所以|eq \(BC,\s\up8(→))|=eq \r(1+t-32)=1,解得t=3,所以eq \(BC,\s\up8(→))=(1,0),所以eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))=2×1+3×0=2,故选C.]
3.已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D.eq \f(3π,4)
B [由于2a+b=(4,2),则b=(4,2)-2a=(2,0),
则a·b=2,|a|=eq \r(2),|b|=2.
设向量a,b的夹角为θ,则cs θ=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(\r(2),2).
又θ∈[0,π],所以θ=eq \f(π,4).]
4.已知O是坐标原点,A,B是坐标平面上的两点,且向量eq \(OA,\s\up8(→))=(-1,2),eq \(OB,\s\up8(→))=(3,m).若△AOB是直角三角形,则m=( )
A.eq \f(3,2)B.2
C.4 D.eq \f(3,2)或4
D [在Rt△AOB中,eq \(AB,\s\up8(→))=(4,m-2),
若∠OAB为直角时,eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))=0,可得m=4;
若∠AOB为直角时,eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))=0,可得m=eq \f(3,2);
若∠OBA为直角时,无解.]
5.以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使A=90°,则eq \(AB,\s\up8(→))的坐标为( )
A.(-2,5)或(2,-5)B.(-2,5)
C.(2,-5)D.(-2,-5)或(2,5)
A [设eq \(AB,\s\up8(→))=(x,y),由|eq \(OA,\s\up8(→))|=|eq \(AB,\s\up8(→))|,得eq \r(52+22)=eq \r(x2+y2).①
由eq \(OA,\s\up8(→))⊥eq \(AB,\s\up8(→)),得5x+2y=0②
联立①②,解得x=-2,y=5或x=2,y=-5.
故eq \(AB,\s\up8(→))=(-2,5)或eq \(AB,\s\up8(→))=(2,-5).]
二、填空题
6.已知正方形ABCD,点E在边BC上,且满足2eq \(BE,\s\up8(→))=eq \(BC,\s\up8(→)),设向量eq \(AE,\s\up8(→)),eq \(BD,\s\up8(→))的夹角为θ,则cs θ=________.
-eq \f(\r(10),10) [因为2eq \(BE,\s\up8(→))=eq \(BC,\s\up8(→)),所以E为BC的中点.设正方形的边长为2,
则|eq \(AE,\s\up8(→))|=eq \r(5),|eq \(BD,\s\up8(→))|=2eq \r(2),eq \(AE,\s\up8(→))·eq \(BD,\s\up8(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))+\f(1,2)\(AD,\s\up8(→))))·(eq \(AD,\s\up8(→))-eq \(AB,\s\up8(→)))=eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up8(→))|2-|eq \(AB,\s\up8(→))|2+eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))=eq \f(1,2)×22-22=-2,所以cs θ=eq \f(\(AE,\s\up8(→))·\(BD,\s\up8(→)),|\(AE,\s\up8(→))||\(BD,\s\up8(→))|)=eq \f(-2,\r(5)×2\r(2))=-eq \f(\r(10),10).]
7.已知a=(4,2),则与a垂直的单位向量b=________.
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5),-\f(2\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(5),5),\f(2\r(5),5))) [设b=(x,y),
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2+y2=1,,4x+2y=0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(\r(5),5),,y=\f(-2\r(5),5),))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=-\f(\r(5),5),,y=\f(2\r(5),5).))]
8.已知eq \(OA,\s\up8(→))=(2,2),eq \(OB,\s\up8(→))=(4,1),O为坐标原点,在x轴上求一点P,使eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BP,\s\up8(→))有最小值,则P点的坐标为________.
(3,0) [设P(x,0),所以eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BP,\s\up8(→))=(x-2,-2)·(x-4,-1)=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,当x=3时,eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(BP,\s\up8(→))有最小值,此时P(3,0).]
三、解答题
9.已知a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b的夹角的余弦;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
[解] (1)∵a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|=eq \r(42+32)=5,|b|=eq \r(-12+22)=eq \r(5),
∴cs〈a,b〉=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(2,5\r(5))=eq \f(2\r(5),25).
(2)∵a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
又(a-λb)⊥(2a+b),
∴(a-λb)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0,∴λ=eq \f(52,9).
10.已知eq \(OA,\s\up8(→))=(4,0),eq \(OB,\s\up8(→))=(2,2eq \r(3)),eq \(OC,\s\up8(→))=(1-λ)eq \(OA,\s\up8(→))+λeq \(OB,\s\up8(→))(λ2≠λ).
(1)求eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))及eq \(OA,\s\up8(→))在eq \(OB,\s\up8(→))上的投影向量;
(2)求|eq \(OC,\s\up8(→))|的最小值.
[解] (1)eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))=8,设eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))的夹角为θ,
则cs θ=eq \f(\(OA,\s\up8(→))·\(OB,\s\up8(→)),|\(OA,\s\up8(→))||\(OB,\s\up8(→))|)=eq \f(8,4×4)=eq \f(1,2),
∴eq \(OA,\s\up8(→))在eq \(OB,\s\up8(→))上的投影向量为(|eq \(OA,\s\up8(→))|cs θ)eq \f(\(OB,\s\up8(→)),|\(OB,\s\up8(→))|)=4×eq \f(1,2)×eq \f(\(OB,\s\up8(→)),4)=eq \f(\(OB,\s\up8(→)),2)=(1,eq \r(3)).
(2)|eq \(OC,\s\up8(→))|2=(1-λ)2eq \(OA,\s\up8(→))2+2λ(1-λ)eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))+λ2eq \(OB,\s\up8(→))2=16λ2-16λ+16=16eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ-\f(1,2)))eq \s\up12(2)+12,
∴当λ=eq \f(1,2)时,|eq \(OC,\s\up8(→))|取到最小值为2eq \r(3).
1.已知向量a=(1,eq \r(3)),b=(3,m),若向量a,b的夹角为eq \f(π,6),则实数m的值为( )
A.2eq \r(3) B.-eq \r(3) C.0 D.eq \r(3)
D [由题意得|a|=2,|b|=eq \r(9+m2),a·b=3+eq \r(3)m=2eq \r(9+m2)cseq \f(π,6),解得m=eq \r(3).]
2.已知a=(4,7),b=(-5,-2),则|a-b|=( )
A.81B.9eq \r(2)
C.eq \r(26)D.9
B [因为a-b=(9,9),所以|a-b|=eq \r(92+92)=9eq \r(2).]
3.(一题两空)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))的值为________;eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(DC,\s\up8(→))的最大值为________.
1 1 [以D为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示.
则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),
设E(1,a)(0≤a≤1).
所以eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))=(1,a)·(1,0)=1,
eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(DC,\s\up8(→))=(1,a)·(0,1)=a≤1,
故eq \(DE,\s\up8(→))·eq \(DC,\s\up8(→))的最大值为1.]
4.窗,古时亦称为牅,它伴随着建筑的起源而出现,在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图,是某古代建筑群的窗户设计图,窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形,内嵌一个小正方形Ef GH,且E,f ,G,H分别是Af ,BG,CH,DE的中点,则eq \(AG,\s\up8(→))·eq \(DF,\s\up8(→))的值为________.
0 [如图所示,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,
建立直角坐标系. 则Aeq (0,0),Deq (0,1),延长Af 与BC交于点I,
tan∠f AB=eq \f(FB,FA)=eq \f(1,2)=eq \f(BI,AB),故I为BC中点.
直线AI:y=eq \f(1,2)x,同理可
得:直线GB:y=-2x+2,
直线HC:y=eq \f(1,2)x+eq \f(1,2);
解得:f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5),\f(2,5))),Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5),\f(4,5))),
故eq \(AG,\s\up8(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5),\f(4,5))),eq \(DF,\s\up8(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5),-\f(3,5))),eq \(AG,\s\up8(→))·eq \(DF,\s\up8(→))=0.]
5.已知eq \(OP,\s\up8(→))=(2,1),eq \(OA,\s\up8(→))=(1,7),eq \(OB,\s\up8(→))=(5,1),设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).
(1)求使eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))取得最小值时的eq \(OC,\s\up8(→));
(2)根据(1)中求出的点C,求cs∠ACB.
[解] (1)因为点C是直线OP上一点,
所以向量eq \(OC,\s\up8(→))与eq \(OP,\s\up8(→))共线,设eq \(OC,\s\up8(→))=teq \(OP,\s\up8(→)),
则eq \(OC,\s\up8(→))=(2t,t).
eq \(CA,\s\up8(→))=eq \(OA,\s\up8(→))-eq \(OC,\s\up8(→))=(1-2t,7-t),
eq \(CB,\s\up8(→))=eq \(OB,\s\up8(→))-eq \(OC,\s\up8(→))=(5-2t,1-t).
eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)
=5t2-20t+12=5(t-2)2-8.
当t=2时,eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))取得最小值,此时eq \(OC,\s\up8(→))=(4,2).
(2)当eq \(OC,\s\up8(→))=(4,2)时,eq \(CA,\s\up8(→))=(-3,5),eq \(CB,\s\up8(→))=(1,-1),
所以|eq \(CA,\s\up8(→))|=eq \r(34),|eq \(CB,\s\up8(→))|=eq \r(2),eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))=-8.
所以cs∠ACB=eq \f(\(CA,\s\up8(→))·\(CB,\s\up8(→)),|\(CA,\s\up8(→))||\(CB,\s\up8(→))|)=-eq \f(4\r(17),17).
人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课后作业题: 这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课后作业题,共6页。
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