人教版数学九年级上册_第二十六章_二次函数_单元知识梳理与易错精讲(教师版+学生版)

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第二十六章 二次函数 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理单元核心问题怎样从解析式直接读懂抛物线的形状与位置？又怎样在解析式、图象、方程和实际问题之间自由转换而不出错？一、学习目标1. 能判断一个函数是否为二次函数并说出各项系数，能由实际问题列出二次函数解析式2. 能不描点直接说出二次函数的开口方向、对称轴、顶点、最值与增减区间，能完成一般式与顶点式的互化3. 能利用判别式与图象判断抛物线与 x 轴的公共点情况，会用图象法求一元二次方程的近似根4. 能完成实际最值问题（面积、利润、高度、拱桥）的设元、列式、定域、求最值与检验二、重点• 二次函数的三要素与系数读取（先化简、a≠0、带符号读系数）• 抛物线 y=a(x-h)²+k 与 y=ax²+bx+c 的对称轴、顶点、最值与增减性• 抛物线与 x 轴公共点与一元二次方程根的一一对应• 实际最值问题的定义域与整数约束三、难点• 对称轴公式与顶点坐标的符号处理（配方、-b(2a)、平移方向）• 实际问题中最值在定义域端点或相邻整数点处取得的情形学习支架列表取点：y=x²抛物线 y=x²平移：y=x² 与 y=(x+2)²-3抛物线 y=-2x²+8x-5抛物线 y=x²-2x-3（与 x 轴两个公共点）公共点个数与方程根的情况对应表降价 x 元时的利润变化（进价 40 元、售价 60 元、每周销量 200 件，每降价 1 元多卖 30 件）对称轴与顶点公式四、知识要点1. 二次函数的概念与判定形如 y=ax²+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数叫作二次函数，其中 x 是自变量。判断一个函数是不是二次函数，必须同时满足三个要点：①解析式是整式；②化简后自变量 x 的最高次数是 2；③二次项系数 a≠0，三要素缺一不可。易错提醒：①不化简就判断，如 y=(x+1)²-x² 展开后是 y=2x+1，是一次函数；②a=0 时 x² 项消失，y=bx+c 是一次函数（b≠0 时）或常函数，不再是二次函数；③b、c 可以为 0，y=3x² 也是二次函数。读系数时要连同符号一起读：y=-x²+20x 中 a=-1，b=20，c=0（缺项记 0）。由实际问题列解析式时，还要结合实际意义写出自变量的取值范围（如边长必须为正）。2. y=ax² 的图象和性质二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，开口向上或向下。先从最简单的 y=ax² 入手：它的对称轴是 y 轴（直线 x=0），顶点是原点 (0,0)。开口方向由 a 决定：a>0 时开口向上，顶点是最低点；a0 时，x0 时 y 随 x 的增大而增大；a0 时图象向右平移 h 个单位，h0 时向上平移 k 个单位，k0 时，对称轴左侧（x-b2a）y 随 x 的增大而增大；a0 时，当 x=-b2a 时函数有最小值 4ac−b24a；a0、Δ=0、Δ0，开口向上；y=ax² 的对称轴是 y 轴，顶点是原点 (0,0)。[错因:知识]第5题：小；(0,0)【解析】|a|=3>1，|a| 越大开口越小；y=-3x² 的顶点仍是原点 (0,0)。[错因:知识]第6题：√【解析】Δ=(-6)²-4×1×9=36-36=0，方程 x²-6x+9=0 有两个相等的实数根 x=3，所以图象与 x 轴只有一个公共点 (3,0)。[错因:方法]第7题：(-2,-1)；直线 x=-2【解析】顶点式 y=a(x-h)²+k 的顶点是 (h,k)。这里 x+2=x-(-2)，所以 h=-2，k=-1，顶点是 (-2,-1)，对称轴 x=-2。[错因:方法]第8题：对称轴是直线 x=3，顶点坐标是 (3,1)。【解析】配方：y=-(x²-6x+8)=-(x²-6x+9-1)=-(x-3)²+1，所以对称轴 x=3，顶点 (3,1)。也可用公式：x=-b(2a)=-6(−2)=3，y=-9+18-8=1。[错因:计算]第9题：A【解析】A 展开得 y=2x²-x，最高次数为 2 且二次项系数不为 0，是二次函数；B 化简得 y=2x+1，是一次函数；C 含有分式，不是整式；D 中 a 可能为 0，不能保证是二次函数。[错因:方法]第10题：A【解析】顶点式 y=a(x-h)²+k 的顶点是 (h,k)，这里 h=1，k=3，顶点是 (1,3)。[错因:知识]第11题：B【解析】a=1>0，开口向上，A 错；对称轴 x=-b(2a)=22=1，B 对；顶点纵坐标 y=1-2-3=-4，顶点是 (1,-4)，C 错；a>0 时对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大，D 错。[错因:知识]第12题：顶点 (2,-1)，对称轴 x=2，与 x 轴的交点 (1,0)、(3,0)；图象为开口向上的抛物线（以学生所作图象为准，请教师复核）。【解析】由 x=-b(2a)=2，y=4-8+3=-1 得顶点 (2,-1)；以对称轴 x=2 为中心取 x=0,1,2,3,4，对应 y=3,0,-1,0,3，描点连线即可。[错因:方法]【易错点】列表时 x 的取值不以对称轴为中心，导致描点不对称、图象变形；连线用折线而非平滑曲线。第13题：没有公共点。因为 Δ=(-6)²-4×1×10=36-40=-40 且 24-2x≤10（墙长 10 m）得 7≤x