九年级数学上册试题 第26章《二次函数》单元测试卷--人教版（含答案）

这是一份九年级数学上册试题 第26章《二次函数》单元测试卷--人教版（含答案）
第26章《二次函数》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列关于的函数中二次函数是（   ）A．B．C．D．2．已知二次函数的图像经过点，则的值为（   ）A．B．C．D．3．已知三个点都在二次函数（，c为常数）的图象上，则的大小关系是（   ）A．B．C．D．4．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ）A．B．C．D．5．关于x的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　）A．B．C．且D．且6．已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（     ）A． B． C．D．7．已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（   ）A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值8．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）A．B．C．D．9．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表：则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ）A．图象开口向上B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根D．图象的对称轴是直线10．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（    ）．A．①②⑤B．①③⑤C．②③⑤D．①③④⑤二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．已知抛物线表达式为，则该抛物线的对称轴为直线______．12．已知函数的顶点在x轴上，那么______．13．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接）14．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____．15．将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________．16．当时，二次函数的最大值是5，则的值为______．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．已知在平面直角坐标系内，抛物线经过轴上两点，，点的坐标为，与轴相交于点．求抛物线的表达式以及点的坐标．18．在平面直角坐标系中，已知二次函数．(1)若该二次函数图象的顶点在轴上，求此二次函数的表达式；(2)若该抛物线的顶点到轴的距离为，求的值．19．如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标．20．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，．(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？21．2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动．(1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率；(2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？22．已知二次函数．图象经过点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围；(3)当，二次函数的最大值是，求的值．23．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）；(2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？(3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由．(4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？24．燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由；(3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E．①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________．②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________．25．定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是；(1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________．(2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小．(3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是．①求的取值范围是___________；②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．A解：A．符合二次函数定义，则A符合题意；B．不是二次函数，则B不符合题意；C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意；D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意；故选：A．2．A解：∵二次函数的图像经过点，∴，即，∴．故选：A．3．C解：∵二次函数的对称轴为直线，且，∴抛物线开口向下．点到对称轴的距离分别为：．∵抛物线的开口向下，∴距离越大函数值越小．∴．故选 C．4．B解：设，则，墙长，，，，解得，花园的面积，∴当时，花园面积最大，最大面积为．5．D∵ 函数为二次函数，∴ .∵ 图象与x轴有两个不同的交点，∴ 方程 有两个不同的实数根，∴ 判别式 ，解得 .∴ 且 ．故选：D．6．C解：∵抛物线 开口向上，当时，，∴将代入解析式得： ，化简得 ，解得，∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大，∴抛物线对称轴不大于，∵抛物线对称轴为，∴ ，解得：，综上，的取值范围是．7．A解：抛物线的对称轴为直线，，解得：，抛物线的解析式为，平移该抛物线的顶点始终在直线上，设平移后抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的解析式为，当时，可得：，整理得：，，有最大值，即当时，取最大值，最大值为．故选：A．8．D解：联立得：，∴，∴，解得：或，当时，，当时，，∴二次函数与一次函数相交于点和，∴只有D选项图象符合题意．9．C解：把，和 代入得，，解得，∴二次函数解析式为，∵，∴图象开口向下，故选项错误；∵图象开口向下，∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大，∵ ，∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误；∴当时，可知时函数取最大值，又由表格知，时，∴当 时，的取值范围为，故选项错误；∵二次函数顶点坐标为，∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确．10．B解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，即，故①正确；∵时，，∴，即，故②错误；∵抛物线经过点，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，故③正确；∵当时，，达到最大值，当时，，∴，∴，故④错误；∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，∴抛物线解析式为，∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标，∴，故⑤正确；∴正确的结论有①③⑤．二、填空题11．解：在中，，，∴对称轴为直线．故答案为：．12．解：∵二次函数的顶点在x轴上，∴方程只有一个实数根，∴，解得：，故答案为：．13．解：观察图象可知，开口向上，故，和开口向下，且的开口大小小于，故，．故答案为：．14．解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，∴该二次函数与轴的另一个交点为，∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解，故答案为：．15．解：对原抛物线配方得，可得原抛物线的顶点坐标为，抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数，根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为，因此旋转后抛物线的顶点式为，整理为一般式．16．2或函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，最大值在顶点处，则，解得或（舍去），；当时，在时，随的增大而减小，最大值在处取得，即，解得，且，符合条件；当时，在时，随的增大而增大，最大值在处取得，即，解得，但，不符合，故舍去；因此的值为或．三、解答题17．解：将点代入，得，，解得，∴抛物线的表达式为，将代入，得，∴点的坐标为．18．（1）解：∵二次函数图象的顶点在轴上，∴与轴只有一个交点，即，，解得：，二次函数表达式为；（2）解：∵，∴顶点为，∵抛物线的顶点到轴的距离为，∴，解得，，的值为或．19．（1）解：∵， ∴， ∵，∴，在中， ， ∴，即 ∴， ∴，把代入得： ，解得：  ，∴抛物线的解析式为：；（2）解：如图，设的解析式为：，∵,，所以，解得，所以的解析式为：，设， 则， ∵，∴ ， 解得：（舍） 或， ∴.20．（1）解：设抛物线解析式为，∵当时，，∴点D的坐标为，∴将点D坐标代入解析式得，解得：，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：由抛物线的对称性得，∴，当时，，∴矩形的周长，∵，∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．21．（1）解：设每月产量的增长率为，根据题意列方程得: ，解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去，答: 每月产量的增长率为；（2）解：设降价元，每天总利润为 元，根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件，∴， ，当时， 取得最大值，最大值为，答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元．22．（1）解：将点代入，得，∴二次函数的表达式为；（2）解：∵，∴，∴，，∵，∴当时，取得最大值，∵对于一切实数，都有，∴；（3）解：，∴该抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，①当，即时，当时，区间在对称轴右侧，∴随的增大而减小，∴当时，取得最大值，∴，化简，得，解得或（与题设矛盾，舍去），∴；②当，即时，当时，对称轴在区间内，∴当时，取得最大值，∴，即，与题设矛盾，故舍去；③当，即时，当时，区间在对称轴左侧，∴随的增大而增大，∴当时，取得最大值，∴，化简，得，解得或（与题设矛盾，舍去），∴；综上所述，的值为或．23．（1）解：由题意，得，∴；（2）解：∵，，，∴的面积，解得或，当时，（不符合题意，舍去）；∴，答：1秒后，的面积等于；(3)解：不能，理由如下：当的面积等于时，则，整理，得，∴，∴方程没有实数根，故的面积不能等于；（4）解：当点运动到点时，秒；由题意，，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴当时，随着的增大而增大，∵，∴当时，的值最大为；故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为.24．（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，将点代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：不存在安全隐患；理由如下：当时，，当时，火星已经落地，不存在安全隐患；（3）解：①，的顶点坐标为；设直线l的表达式为，将的顶点和代入，得，解得，直线l的表达式为；②．理由如下：令，则，解得，，，令，则，解得，，，，抛物线的顶点坐标为，把顶点的坐标代入直线l的表达式，得，整理，得，解得，，当时，抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去，，，，，，，，，，．25．（1）解：∵抛物线的顶点是点，∴点P的坐标为，∵抛物线的共生抛物线的顶点是，∴，且抛物线的二次项系数为，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵抛物线的解析式为，且，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，∴当，的函数值随着x的增大而减小；∵抛物线的解析式为，且，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，∴当，的函数值随着x的增大而减小；综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小；（3）解：①如图所示，当直线恰好经过点P时，则，当直线恰好经过点Q时，则，由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点；②如图所示，当点P为直角顶点时，过点P作轴，过点K作，过点Q作，∴，由题意得，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在中，当时，，∴点在抛物线上，此时符合题意；如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得，在中，当时，，∴点不在抛物线上，此时不符合题意；综上所述，点K的坐标为．