2026-2027学年九年级数学上册第26章 二次函数 单元测试卷 人教版（有答案）

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2026-2027学年九年级数学上册第26章 二次函数 单元测试卷 人教版一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）若是关于x的二次函数y＝（a+3）x|a|﹣1﹣x+1，则a的值是（　　）A．﹣3B．2C．3D．﹣3或32．（3分）已知一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，则二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象大致为（　　）A．B．C．D．3．（3分）若点A（2，y1）和点B（3，y2）都在抛物线y＝﹣x2上，则y1和y2的大小关系是（　　）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．无法确定4．（3分）已知x2+x﹣y＝1，则x+y的最小值为（　　）A．1B．0C．﹣1D．﹣25．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）A．abc＞0 B．a﹣b+c＞0C．b2﹣4ac＜0 D．当x＞2时，y随x的增大而减小6．（3分）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　）A．﹣4.5B．﹣4C．﹣3.5D．﹣37．（3分）参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式是（　　）A．y＝x（x﹣1）B．y＝x（x﹣2）C．D．8．（3分）如图，将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸片剪去四个边长为xcm的正方形，制作出一个底面积为ycm2的无盖长方体盒子，则y与x之间的关系式为（　　）A．y＝（20﹣2x）（15﹣2x）B．y＝（20﹣x）（15﹣x）C．y＝x（20﹣2x）D．y＝x（15﹣2x）9．（3分）如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（　　）A．8米B．9米C．10米D．11米10．（3分）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ a+b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④二．填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）抛物线的顶点坐标为　 　 ．12．（3分）如果函数是关于x的二次函数，则k＝　 　 ．13．（3分）已知，B（2，y2），是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是　 　 ．14．（3分）当0≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为m，最小值为n，则m﹣n＝　 　 ．15．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+q的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+q＝0的一个解为x1＝﹣1，则另一个解x2＝ 　 　 ．16．（3分）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c中x，y的部分对应值：估计方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是　 　 ．17．（3分）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+2x+，则水流喷出的最大高度是　 　 m．18．（3分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　 　 ．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）已知抛物线与x轴交于点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，且过点（2，4），求抛物线的函数解析式．20．（8分）已知函数是关于x的二次函数．（1）求m的值；（2）写出二次项系数、一次项系数及常数项．21．（8分）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？22．（10分）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（3，0），C（3，3），抛物线经过点A和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在x轴上方的抛物线上，连接EC、EB，当△CEB是以CB为底的等腰三角形时，求点E的坐标．23．（10分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．（1）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．（2）该专卖店想获得最大利润，那么每件童装需要降价多少元，最大利润是多少？24．（10分）如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分．如图2，将麦秆所在直线作为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系．已知：抛物线（点A与点B之间的部分）y＝﹣x2+bx+b+1（0≤x≤m），m是常数，抛物线的顶点距离y轴的水平距离是1dm，点B到x轴的距离是．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求m的值．25．（12分）我们把抛物线上纵坐标是横坐标三倍的点叫做这条抛物线的“三倍点”（原点除外）．（1）若抛物线y＝x2+bx+4上只有唯一的“三倍点”，求b的值及“三倍点”的坐标；（2）平移抛物线y＝x2+bx+4，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“三倍点”，求新抛物线的表达式．参考答案一．选择题1．解：根据二次函数定义可得：，由|a|﹣1＝2，得|a|＝3，即a＝3或a＝﹣3，又∵a+3≠0，∴a≠﹣3，∴a＝3．故选：C．2．解：由条件可知a＜0，b＞0，∴二次函数y＝ax2+bx（a≠0）图象的开口向下，二次函数的对称轴，∴对称轴应在y轴的右侧．故选：C．3．解：由条件可知抛物线开口向下，对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而减小，∵0＜2＜3，∴y1＞y2．故选：A．4．解：由条件可知y＝x2+x﹣1，∴x+y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2．∴顶点坐标为（﹣1，﹣2）．∴x+y的最小值为﹣2．故选：D．5．解：选项A：由图可知开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，即a＜0，c＞0，b＞0，那么abc＜0，故不符合题意；选项B：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，由图可知，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故不符合题意；选项C：由图可知，抛物线与x轴有两个交点，即b2﹣4ac＞0，故不符合题意；选项D：由图可知，当x＞2时，y随x的增大而减小，故符合题意．故选：D．6．解：∵抛物线y＝x2+3x﹣3的对称轴为x＝﹣＝＝﹣1.5，已知根0.75＜x1＜1，由对称性得另一根﹣1.5×2﹣1＜x2＜﹣1.5×2﹣0.75，即﹣4＜x2＜﹣3.75，∴另一根更接近的是﹣4．故选：B．7．解：∵共有x人参加会议，每个人需要和除自己以外的（x﹣1）个人握手，且每一次握手会被两人各重复计算一次，∴实际握手次数为，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式为：．故选：C．8．解：将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸片剪去四个边长为xcm的正方形，制作出一个底面积为ycm2的无盖长方体盒子，则：根据题意可得，盒子底面的长为（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm，∵盒子底面积为ycm2，∴y＝（20﹣2x）（15﹣2x）．故选：A．9．解：∵水面离桥顶的高度为米，∴当y＝﹣时，得﹣x2＝﹣，解得x＝4或x＝﹣4．∴水面宽度为4﹣（﹣4）＝8（米）．故选：A．10．解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，∴，∴①②正确，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴﹣＞2，∴﹣＞2，∴﹣1＜a＜0，④正确，∵a+c＝0，∴0＜c＜1，c＝﹣a，当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，∵﹣1＜a＜0，∴﹣a＞0，∴a+b+c＝2﹣a＞0，③错误．综上所述，结论正确的是①②④．故选：C．二．填空题11．解：抛物线的顶点坐标为（4，3）．故答案为：（4，3）．12．解：如果函数是关于x的二次函数，由题意，可得，解方程k2﹣7＝2，得k2＝9，解得k＝3或k＝﹣3； 由k﹣3≠0，得k≠3，故k＝﹣3．故答案为：﹣3．13．解：由题知，因为二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+m，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，则抛物线上的点离对称轴越远，其纵坐标越小．因为点，B（2，y2），都在该二次函数的图象上，则且，所以y3＜y1＜y2．故答案为：y3＜y1＜y2．14．解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该二次函数二次项系数为1＞0，则开口向上，对称轴为直线x＝2，∵0≤x≤3，即对称轴在给定区间内，二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为m，最小值为n，∴当x＝2时，二次函数取得最小值n＝﹣1，当x＝0时，y＝02﹣4×0+3＝3；当x＝3时，y＝32﹣4×3+3＝0；比较得，二次函数的最大值m＝3，因此m﹣n＝3﹣（﹣1）＝4．故答案为：4．15．解：若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+q＝0的一个解为x1＝﹣1，∵y＝﹣x2+2x+q，∴对称轴为直线，∴，∵x1＝﹣1，∴x2＝3．故答案为：3．16．解：方程ax2+bx+c＝0的解即为函数y＝ax2+bx+c的零点．由表格数据可知，当x＝0.75时，y＝1.31＞0，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0，由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0，因此0.5＜x＜0.75．故答案为：0.5＜x＜0.75．17．解：∵水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，∴抛物线的顶点坐标为，∴水流喷出的最大高度是．故答案为：．18．解：连接AC，BC，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴点D的坐标为（0，﹣3），∴OD的长为3，设y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0）∴AO＝1，BO＝3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∵CO⊥AB，∴CO2＝AO•BO＝3，∴CO＝，∴CD＝CO+OD＝3+，故答案为：3+．三．解答题19．解：∵已知抛物线与x轴交于点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），（a≠0），把（2，4）代入解析式中，得4＝a（2+3）（2﹣1），解得：a＝，∴抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1），即y＝x2+x﹣．20．解：（1）由条件可得，∴m＝3．（2）二次函数解析式为y＝12x2﹣2，故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为﹣2．21．解：S＝l•（﹣l）＝﹣l2+30l＝﹣（l﹣15）2+225，所以当l＝15时，S有最大值，最大值为225，答：当l是15米时，场地的面积S最大，最大值为225平方米．22．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入关系式，∴，解得，∴抛物线的关系式为；（2）∵B（3，0），C（3，3），△CEB是以CB为底的等腰三角形，∴点E的坐标为，当时，，整理得x2﹣2x﹣1＝0，解得，∴点E的坐标为或．23．解：（1）设每件童装降价x元时，平均每天盈利1200元，可根据题意列出方程：（20+2x）（40﹣x）＝1200，解得：x1＝10，x2＝20；答：每件童装降价20元或10元时，平均每天盈利1200元．（2）由题意，结合（1），设专卖店平均每天所获利润W，由题意得，W＝（20+2x）（40﹣x），整理得：w＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，W最大为1250．答：当降价15元时，专卖店平均每天所获利润最大，最大为1250元．24．解：（1）将y＝﹣x2+bx+b+1化成顶点式为，∴这个抛物线的顶点坐标为，∵抛物线的顶点距离y轴的水平距离是1dm，且0≤x≤m，∴，解得b＝2，∴y＝﹣x2+2x+3．（2）∵点B到x轴的距离是，且0≤x≤m，∴，将点代入y＝﹣x2+2x+3得：，解得或（不符合题意，舍去），∴m的值为．25．解：（1）令x2+bx+4＝3x，整理得x2+（b﹣3）x+4＝0，∴Δ＝（b﹣3）2﹣16，当Δ＝0时抛物线y＝x2+bx+4上只有唯一的“三倍点”，∴（b﹣3）2﹣16＝0，解得b＝7或b＝﹣1．当b＝7时，x2+4x+4＝0，解得x1＝x2＝﹣2，将x＝﹣2代入y＝3x中得y＝﹣6，当b＝﹣1时，x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，将x＝2代入y＝3x中得y＝6，∴b＝7时，“三倍点”的坐标为（﹣2，﹣6），b＝﹣1时，“三倍点”的坐标为（2，6）．（2）由条件可设平移后解析式为y＝（x﹣h）2+3h，将（0，0）代入y＝（x﹣h）2+3h得0＝h2+3h，解得h＝0（舍）或h＝﹣3，∴y＝（x+3）2﹣9＝x2+6x．x…0.250.50.751…y…﹣1.69﹣0.251.313…