初中数学新人教版九年级上册26章专题7二次函数与几何的综合作业课件（放映显示答案）（2026秋版）

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第二十六章　二次函数专题7　二次函数与几何的综合类型一　与线段、面积有关的最值问题例1：如图①，已知直线y＝－x＋4与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C，与x轴交于另一点B，点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点T(t，0)，交直线AC于点Q.  4　0　0　4　解：(1)将A(4，0)和C(0，4)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c， (2)用含t的代数式表示线段PQ的长度，并求PQ长度的最大值及此时点P的坐标.∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4.解：(2)∵PQ⊥x轴于点T(t，0)，解：(2)∵PQ⊥x轴于点T(t，0)，∴P(t，－t2＋3t＋4)，Q(t，－t＋4).∴PQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4.∵0＜t＜4，∴当t＝2时，PQ取最大值，最大值为4，此时点P的坐标为(2，6).(3)一题多解 如图②，过点P作PH⊥直线AC于点H，当点P的坐标为多少时，PH的长度最大？[思路1]参数法：利用坐标设参，表示出线段PH的长度与t之间的函数关系，利用函数的性质解决. 解：∵OA＝OC＝4，∴∠CAO＝45°，即∠PQH＝∠TQA＝45°.∵PH⊥AC， 由(2)可知PQ＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4， ∴当t＝2时，PH最大，此时点P的坐标为(2，6). 解：过点P作直线l∥AC，当直线l与抛物线只有一个公共点时，PH取最大值.设直线l的解析式为y＝－x＋n， 4＝0.∵Δ＝42－4(n－4)＝32－4n＝0，∴n＝8.此时方程x2－4x＋n－4＝0的解为x1＝x2＝2.当x＝2时，y＝－2＋8＝6.即点P的坐标为(2，6)时，PH最大.(4)一题多解 如图③，连接PA，PC，当△PAC的面积最大时，求点P的坐标.[思路1]割补法：连接OP，则S△PAC＝S△OCP＋S△OAP－S△AOC.  解：由(1)得A(4，0)，C(0，4)，由(2)得P(t，－t2＋3t＋4).   ∴S△PAC＝S△OCP＋S△OAP－S△AOC＝2t－2t2＋6t＋8－8＝－2t2＋8t＝－2(t－2)2＋8.∵0＜t＜4，∴当t＝2时，S△PAC最大，此时点P的坐标为(2，6).∵0＜t＜4，∴当t＝2时，S△PAC最大，此时点P的坐标为(2，6). 解：由(2)可知PQ＝－t2＋4t. ＝2PQ＝－2t2＋8t＝－2(t－2)2＋8.∵0＜t＜4，∴当t＝2时，S△PAC最大，此时点P的坐标为(2，6).类型二　与特殊图形有关的存在性问题例2：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)，P，Q为抛物线上的两点.(1)该二次函数的表达式为 ⁠.y＝x2－2x－3　(2)当P，C两点关于抛物线的对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标.解：∵抛物线y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝1，点P，C(0，－3)关于抛物线的对称轴对称，∴点P(2，－3).设Q(m，m2－2m－3).∵△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形，∴∠OPQ＝90°.∴OP2＋PQ2＝OQ2.∴[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－m)2＋(－3－m2＋2m＋3)2]＝(0－m)2＋(0－m2＋2m＋3)2.解：∵抛物线y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝1，点P，C(0，－3)关于抛物线的对称轴对称，∴点P(2，－3).设Q(m，m2－2m－3).∵△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形，∴∠OPQ＝90°.∴OP2＋PQ2＝OQ2.∴[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－m)2＋(－3－m2＋2m＋3)2]＝(0－m)2＋(0－m2＋2m＋3)2. 点拨利用距离公式表示三边长，再结合勾股定理列方程解决，注意分类讨论直角顶点的三种情况.   解：存在.设N(1，n)，∵A(－1，0)，C(0，－3)，∴AC2＝10，AN2＝4＋n2，CN2＝1＋(n＋3)2.∵△ACN为等腰三角形，∴有两边相等.①当AC＝AN时，10＝4＋n2，解得n  ②当AC＝CN时，10＝1＋(n＋3)2，解得n1＝0，n2＝－6.当n＝－6时，A，C，N三点共线，舍去；③当AN＝CN时，＋n2＝1＋(n＋3)2，4解得n＝－1.综上所述，    解析：设点E的横坐标为t(0＜t＜3)，则E(t，t2－2t－3).由B(3，0)，C(0，－3)易得直线BC的表达式为y＝x－3，则F(t，t－3).∵以点E，F，P，C为顶点的四边形是菱形，且易知EF∥PC，∴只需EF＝PC＝CE或EF＝PC＝CF. 解析：设点E的横坐标为t(0＜t＜3)，则E(t，t2－2t－3).由B(3，0)，C(0，－3)易得直线BC的表达式为y＝x－3，则F(t，t－3).∵以点E，F，P，C为顶点的四边形是菱形，且易知EF∥PC，∴只需EF＝PC＝CE或EF＝PC＝CF. ①当EF＝PC＝CE时，[t－3－(t2－2t－3)]2＝t2＋[t2－2t－3－(－3)]2，解得t＝2，此时E(2，－3)，F(2，－1)，P(0，－1)符合题意，菱形的边长为2.②当EF＝PC＝CF时，[t－3－(t2－2t－3)]2＝t2＋[t－3－(－3)]2，