2026-2027学年九年级数学上册第26章 二次函数 单元测试题 人教版（有答案）

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2026-2027学年九年级数学上册第26章 二次函数 单元测试题 人教版一．选择题（共10小题，满分30分）1．（3分）若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　）A．﹣4B．4C．±4D．±22．（3分）二次函数y＝a（x﹣m）2+n图象如图，一次函数y＝mx+n图象过（　　）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3．（3分）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y24．（3分）函数y＝﹣x2+4x﹣1的最大值是（　　）A．2B．0C．3D．55．（3分）已知二次函数y＝x2+mx+n（m，n是常数）的图象与x轴的交点横坐标为1和t，若2＜t＜4，则m的取值范围是（　　）A．﹣3＜m＜0B．﹣5＜m＜3C．3＜m＜5D．﹣5＜m＜﹣36．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象（a，b是常数）与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C（x1，y1），D（x2，y2）在该函数图象上．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：下列结论：①点B的坐标是（2，3）；②这个函数的最大值大于4；③ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间；④当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时，y1＞y2.其中正确的为（　　）A．①②B．②③C．①③④D．②③④7．（3分）如图，在某次篮球训练中，小张在距篮圈中心的水平距离4m处跳起投篮，球运行的路线是跑物线．当球运行的水平距离为2.5m时达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离是3.05m，则此时抛物线的函数关系式是（　　）A．y＝﹣2x2+4B．y＝﹣0.2x2+3.5C．y＝﹣0.2x2+3.05D．y＝﹣0.2x2+2.58．（3分）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（　　）A．4mB．8mC．10mD．12m9．（3分）某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具．当每个售价为50元时，每天可售出98个，售价每提高1元，则每天少售出2个．物价部门规定其销售单价不高于每个65元，则商店一天可获得的最大利润为（　　）元．A．2048元B．2040元C．1759元D．1751元10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③4a+c＞0；④若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；⑤当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+2x2＝﹣2．其中正确的结论有（　　）A．①②③B．②③⑤C．②③④⑤D．②③④二．填空题（共8小题，满分24分）11．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是 　 　 ．12．（3分）若是关于x的二次函数，则m的值为　 　 ．13．（3分）若二次函数y＝﹣（x﹣3）2+2的图象过A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　 .（用“＜”连接）．14．（3分）二次函数y＝﹣x2+6x﹣7的最大值为　 　 ．15．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根之和为 　 　 ．16．（3分）已知二次函数y＝x2+5x﹣3中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围是　 　 ．17．（3分）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　 　 m．18．（3分）定义：若函数C1和函数C2的图象关于直线x＝m对称，则称函数C1和C2关于直线x＝m互为“和睦函数”，函数C1和C2的图象交点叫做“和睦点”．例如：函数y＝x2﹣3关于直线x＝1的“和睦函数”为y＝（x﹣2）2﹣3，“和睦点”为（1，﹣2）．下列说法正确的序号为　 　 ．①函数y＝x2﹣2x关于直线x＝﹣1的“和睦函数”为y＝（x+3）2﹣1＝x2+6x+8，“和睦点”坐标为（﹣1，3）；②函数y＝x2﹣4x+1关于直线x＝m的“和睦点”的纵坐标为n，当1≤m≤4时，则n的取值范围是﹣2≤n≤1；③函数y＝x2﹣4x关于直线x＝m的“和睦点”纵坐标d满足：|d|≤3，m的取值范围是或；④已知M（1，﹣2），N（4，﹣2），函数C1：y＝a（x﹣1）2﹣4a（a＞0）关于直线x＝2的“和睦函数”为C2，将函数C1与C2的图象组成的图形记为T，若T与线段MN只有2个公共点，则a的取值范围是或．三．解答题（共7小题，满分66分）19．（8分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，且与x轴交于点A（2，0），求抛物线的表达式．20．（8分）已知圆柱的高为6，底面半径为r，底面周长为C，圆柱的体积为V．（1）分别写出C关于r，V关于r的函数表达式；（2）这两个函数中，哪个是二次函数？21．（8分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），且经过点（1，﹣7）．（1）求该抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式．22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，运动时间为t，△PBQ的面积为S．（1）当t是多少秒时，S的值为20mm2？（2）问S随t如何变化？当t取何值时，S最大？S最大值是多少？23．（10分）已知一个二次函数的图象经过如图所示的三个点．（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于x轴的直线l的解析式为y＝，抛物线与x轴交于A、B两点，在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线l与x轴间的距离．求点P的坐标．24．（10分）某花卉种植园原计划培育50个品种的月季，一个品种平均培育100株幼苗．现准备多培育几个品种的月季以扩大育苗总量，试验发现，每多培育1个品种的月季，每个品种平均培育的幼苗数量就会减少1株，要求多培育的品种数量不少于5个且不能超过30个．（1）如果要使幼苗总量增加8%，那么应多培育多少个品种的月季？（2）应多培育多少个品种的月季，幼苗总量取最小值，最小值是多少？应多培育多少个品种的月季，幼苗的总量会达到最大值，最大值是多少？25．（12分）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）如图1建立平面直角坐标系．①求此抛物线的表达式；②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？（2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？参考答案一．选择题1．解：由题意可得：|a|﹣2＝2，且a﹣4≠0．由|a|﹣2＝2，得|a|＝4，解得a＝4或a＝﹣4．又∵a﹣4≠0，即a≠4，∴a＝﹣4．故选：A．2．解：由条件可知抛物线的顶点坐标为（m，n），由图象可知：m＞0，n＞0，∴一次函数图象经过第一、二、三象限；故选：A．3．解：已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y＝﹣x2+4x+m上的点，∵抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+m，∴a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为，∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大．分别计算三个点到对称轴的距离：点（﹣1，y1）的距离：|﹣1﹣2|＝3，点（2，y2）的距离：|2﹣2|＝0，点（4，y3）的距离：|4﹣2|＝2．∵0＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故选：C．4．解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，y取最大值，函数y＝﹣x2+4x﹣1的最大值为3，故选：C．5．解：由题意得y＝（x﹣1）（x﹣t），∴y＝x2﹣（1+t）x+t，∵y＝x2+mx+n，∴m＝﹣（1+t），∵2＜t＜4，∴3＜t+1＜5，∴﹣5＜﹣（t+1）＜﹣3，即﹣5＜m＜﹣3，故选：D．6．解：将（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+3得，解得，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），∴对称轴为直线x＝1，函数的最大值为4，∴点B的坐标是（2，3）；故①正确，②错误．把x＝2代入y＝﹣x2+2x+3得，y＝3，把x＝3代入y＝﹣x2+4x+2得，y＝0，∴抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝2交点的横坐标在2与3之间，∴ax2+bx＝﹣1有一个根在2与3之间，故③正确；∵当﹣1＜x1＜0，4＜x2＜5时，∴点C到对称轴的距离小于点D到对称轴的距离，∴y1＞y2．故④正确．故选：C．7．解：根据题意抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．根据题意得，抛物线过点（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．故选：B．8．解：AB＝16，当x＝8时，y＝﹣×64＝﹣4．当水位上升3米时，y＝﹣1，把 y＝﹣1代入 y＝﹣x2，得﹣1＝﹣x2，解得 x＝±4，此时水面宽CD＝8米，故选：B．9．解：设售价x元（50≤x≤65），∴销售量＝98﹣2（x﹣50）＝198﹣2x，每个利润＝x﹣35，∴总利润P＝（x﹣35）（198﹣2x）＝﹣2x2+268x﹣6930，∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，顶点横坐标，但x＝67＞65，不在范围内，又∵当x＜67时，函数递增，∴在x＝65时P最大，P＝（65﹣35）（198﹣2×65）＝30×68＝2040（元），故选：B．10．解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①错误；∵物线与x轴有2个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，而b＝2a，∴3a+c＞0，∵a＞0，∴4a+c＞0，所以③正确；∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），即a﹣bt≤at2+b，所以④正确；∵图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（，2），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为（﹣，2），即x1＝﹣，x2＝，∴x1+2x2＝﹣+2×＝﹣，所以⑤错误．故选：D．二．填空题11．解：抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标为（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）．12．解：若是关于x的二次函数，则m2﹣2＝2，且m+2≠0，解得：m＝2，故答案为：2．13．解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝3，A（4，y3）关于直线x＝3的对称点是（2，y3），∵﹣1＜1＜2＜3，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，∴y1＜y2＜y3，故答案为：y1＜y2＜y3，．14．解：将解析式配方可得：二次函数y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，∴当x＝3时，取得最大值，最大值为2，故答案为：2．15．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根的和为﹣＝2．故答案为：2．16．解：方程x2+5x﹣3＝0的解即为函数y＝x2+5x﹣3的零点．由表格数据可知，当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0；当x＝0.75时，y＝1.31＞0．由于函数连续，故在x＝0.5与x＝0.75之间必然存在一点使y＝0，因此方程的一个解x的取值范围是0.5＜x＜0.75．故答案为：0.5＜x＜0.75．17．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由题意可知抛物线的与x轴的一个交点为（3，0），顶点坐标为（1，3），∴0＝a（3﹣1）2+3，解得：，∴抛物线的解析式为：，当x＝0时，，∴水柱落地处离池中心3m，水管的高度为，故答案为：．18．解：①∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴顶点（1，﹣1），它关于直线 x＝﹣1 的对称点为 （﹣3，﹣1），∴“和睦函数”为y＝（x+3）2﹣1＝x2+6x+8，∵两个函数图象关于直线 x＝﹣1 对称，∴其交点必在直线 x＝﹣1 上，将 x＝﹣1代入y＝x2﹣2x中，y＝1﹣2×（﹣1）＝3，∴“和睦点”坐标为（﹣1，3），故①正确；②由题意得n＝m2﹣4m+1＝（m﹣2）2﹣3，∵1＞0，∴n关于m的函数图象是一条抛物线，开口向上，顶点为 （2，﹣3），∴当 m＝2 时，n有最小值﹣3，当m＝1 时，n＝﹣2，当 m＝4 时，n＝1，∴﹣3≤n≤1，故②错误；③当x＝m时，y＝x2﹣4x＝m2﹣4m，∵|d|≤3，即|m2﹣4m|≤3，解得：3≤m≤2+或2﹣≤m≤1，故③正确；④如图，①当MN过和睦点时，为临界点情况，当x＝2时，y＝a（2﹣1）2﹣4a＝﹣3a，即﹣3a＝﹣2，解得：a＝，则当a≥时，T与线段MN只有2个公共点；②当MN过C1的顶点时，此时T与线段MN只有2个公共点，当x＝1时，y＝a（1﹣1）2﹣4a＝﹣4a，即﹣4a＝﹣2，解得：a＝；综上，a的取值范围为：a≥或a＝，故④错误，∴说法正确的序号为①③，故答案为：①③．三．解答题19．解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过坐标原点，∴c＝0，∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），∴0＝4+2b，解得b＝﹣2，∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣2x．20．解：（1）已知圆柱的高为6，底面半径为r，底面周长为C，圆柱的体积为V，则C＝2πr（r＞0），V＝6πr2（r＞0）；（2）一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，那么V＝6πr2（r＞0）是二次函数．21．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，∵抛物线经过点（1，﹣7）∴a（1﹣2）2﹣4＝﹣7，解得a＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2﹣4；（2）由（1）得，抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2﹣4，∴抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度得到y＝﹣3（x﹣2+2）2﹣4+5，∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣3x2+1．22．解：（1）由题意得，结合函数的图象，△PBQ的面积S随出发时间t变化，先增大然后减小．又∵AP＝2tmm，BQ＝4tmm，且AB＝12mm，BC＝24mm，∴BP＝（12﹣2t）mm，∴S＝BP×BQ＝（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2，即S＝24t﹣4t2（0＜t＜6）．当S的值为20mm2时，则20＝24t﹣4t2（0＜t＜6），解得t＝1秒或t＝5，故当t＝1或5秒时，S的值为20mm2；（2）∵BQ＝4t＞0，BP＝12﹣2t，∴0＜t＜6，∵S＝24t﹣4t2＝﹣4（t﹣3）2+36，∵﹣4＜0，∴S先增大后减小，当t＝3时，S有最大值，最大值为36mm2．23．解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把（0，﹣3），（1，2），（4，5）代入得：，解得：a＝﹣1，b＝6，c＝﹣3，即二次函数的解析式为y＝﹣x2+6x﹣3，∴﹣＝﹣＝3，∴抛物线的对称轴为直线x＝3．（2）解：当y＝0时，﹣x2+6x﹣3＝0解得：x1＝3+，x2＝3﹣，即B（3+，O）．设点P的坐标为（3，y），由勾股定理，BP2＝y2+6．∵l与x轴的距离是，可解得y＝±．∴所求点P为（3，）或（3，﹣）．24．解：（1）由题意，设多培育 x 个品种，则5≤x≤30，且x为整数，∴总品种数：50+x，每个品种幼苗数：（100﹣x），∴幼苗总量：y＝（50+x）（100﹣x）＝﹣x2+50x+5000．∵原幼苗总量：50×100＝5000，∴增加 8% 后总量：5000×（1+8%）＝5400．∴（50+x）（100﹣x）＝5400．∴x1＝10，x2＝40．∵5≤x≤30，∴x＝10．答：应多培育10个品种的月季；（2）由题意得，y＝﹣x2+50x+5000＝﹣（x﹣25）2+5625．∵当x＝5时，y＝5225；当x＝30时，y＝5600；当x＝25时，y取最大值为5625，∴当5≤x≤30时，最小值在x＝5处：y取最小值为5225，当x＝25时，y取最大值为5625．答：应多培育5个品种的月季，幼苗总量取最小值，最小值是5225株，应多培育25个品种的月季，幼苗的总量会达到最大值，最大值是5625元．25．解：（1）①∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（2.5，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5．由图知图象过点：（4，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，∴a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5．②设球出手时，他跳离地面的高度为hm，∵（1）中求得y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，∴球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.2（m）．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m；（2）由题意得，此时顶点为（4，4），∴可设y＝m（x﹣4）2+4．又∵图象过（0，），∴16m+4＝．∴m＝﹣．∴y＝﹣（x﹣4）2+4．∴令x＝7，则y＝3＜3.05．∴此球不能投中这个篮圈．x…﹣2﹣1023…y＝ax2+bx+3…﹣50330…x00.250.50.751y﹣3﹣1.69﹣0.251.313