北师大版（2024）3 一元二次方程的根与系数的关系优质学案

这是一份北师大版（2024）3 一元二次方程的根与系数的关系优质学案学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究，典例精析等内容，欢迎下载使用。
【学习目标】
1. 探索一元二次方程的根与系数的关系.
2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
学习重点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
学习难点：探索一元二次方程的根与系数的关系
【复习导入】
1. 一元二次方程的求根公式是什么？
2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？
想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？

【合作探究】
探究点1：一元二次方程根与系数的关系
由前面的学习我们知道，如果 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) (a≠0，x1，x2 是实数)，
那么一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 必有两个实数根， x = x1，x = x2。
反过来，如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么
ax2 + bx + c= a(x - x1)(x - x2) 一定成立吗？
合作探究
(1) 2x² - 3x + 1 = 0 的两根为 x1 = 12，x2 = 1，那么2x² - 3x + 1 和 2(x - 1/2 )(x - 1) 相等吗？换几个一元二次方程再试一试。
试一试：下列几个一元二次方程是否有上述结论.
①方程 x² - 5x + 6 = 0； ②方程 3x² - 7x + 2 = 0.
(2) 你认为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) 是否一定成立？与同伴进行交流。
思考·交流
如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个实数根 x1，x2 ，那么这两个实数根与该方程的系数有怎样的关系呢？与同伴进行交流。

思考1：观察求根公式 它有什么特点？
因为 x1＝ ，x2＝ .
所以 x1 + x2= x1·x2=
归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么，.
(前提条件是b2－4ac≥0)
【典例精析】
例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0；
（2）2x2 - 3x - 2 = 0；
例2 已知关于x的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是2，求它的另一个根及 k 的值.
例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.
常见的求值式子如下：
练一练 1.设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：
(1) ， (2) ，
(3) ， (4) .
2. 已知 x1，x2 是方程 x2－x－2026 = 0 的两个实数根，则代数式 －2026x1 + 的值是 ( )
A. 4053B. 4052C. 2026D. 1

当堂反馈
1.设下列方程的两个根均为α，β，不解方程，直接写出两根的和与积.
(1)x2＋4x－1＝0；
α＋β＝ ；α·β＝ .
(2)2x2＋4x＋1＝0；
α＋β＝ ；α·β＝ .
(3)6x2－x＝2x2＋3.
α＋β＝ ；α·β＝ .
2.设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)1x1＋1x2；
(2)x12＋x22.
3.[高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－k＋1＝0有两个实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若该方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝11，求k的值.
参考答案
【合作探究】
探究点1：一元二次方程根与系数的关系
合作探究
(1) 相等。
2(x -12 )(x - 1) = 2(x² - 12x - x + 12 ) = 2(x²- 32x + 12 ) = 2x²- 3x + 1
试一试： ①求根：x1 = 2，x2 = 3.
因式分解：(x − 2)(x − 3) = x² - 5x + 6，与原多项式相等。
②求根：x1 = 13，x2 = 2.
因式分解：3(x − 13)(x − 2) = 3x² - 7x + 2，与原多项式相等。
(2) 如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么
ax2 + bx + c= a(x - x1)(x - x2).
思考·交流 事实上，因为 ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)，
而 a(x - x1)(x - x2) = ax2 - a(x1 + x2) x + ax1·x2 ，
所以 b = - a(x1 + x2)， c = ax1x2
【典例精析】
例1
(1) 解：这里 a = 1，b = 7， c = 6 .
Δ = b2 - 4ac = 72–4×1×6 = 49–24 = 25＞0.
所以方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = –7， x1 x2 = 6.
(2) 解：这里 a = 2，b = –3， c = -2.
Δ = b2 − 4ac = (−3)2–4×2×(−2) = 9 + 16 = 25 ＞ 0，
所以方程有两个实数根。
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2 = 32 ， x1 x2 =–1.
例2 解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2 . 所以x1 x2 =2x2=即x2 =
由于x1 + x2=2+ = 得k=－7. 答：方程的另一个根是k=－7.
例3 解：根据根与系数的关系可知：
∵∴
练一练 1.（1）4 （2）1 （3）14 （4）12
2.A

当堂反馈
1.(1) －4 ； －1 .
(2) －2 ； 12 .
(3) 14 ； －34 .
2.解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－32.
(1)1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝－2－32＝43.
(2解：x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－32)＝7.
3.(1)解：∵方程有两个实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0，
解得k≥38.
(2)解：∵x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k2－k＋1，(x1＋1)(x2＋1)＝11，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝11，
即k2－k＋1－2k－1＋1＝11.
整理得k2－3k－10＝0，
解得k1＝－2，k2＝5.
∵k≥38，∴k＝5.