数学九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.2 公式法优秀导学案

这是一份数学九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.2 公式法优秀导学案学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
25.2.2 公式法
【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2. 会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程.
3. 理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理.
学习重点：掌握用公式法解一元二次方程.
学习难点：了解求根公式的推导过程.
【复习导入】
如何用配方法解方程2x2+4x-1=0?
引言：要设计一座高 5 m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？
解：设雕像下部 BC = x m，
列方程得 x2 = 5(5 - x )，
整理得 x2 + 5x - 25 = 0．
思考：如何解出该一元二次方程？


【合作探究】
探究点一：求根公式的推导
探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，
能否也用配方法得出它的解呢？
合作探究 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解：移项，得ax2+bx=－c，
二次项系数化为1，得x2+ x=，
配方，得x2+ x+( )2=( )2，
即(x+)2=①.
问题 对于方程①接下来能直接开平方解吗？
归纳总结：
因此把b2－4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，
即Δ= b2－4ac.
练一练 按要求完成下列表格.
典例精析
例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
练一练
1. 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不等的实数根，则q的取值范围是( )
q≤4 B. q≤4 C. q16
【变式题】二次项系数含字母
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是( )
k >－1 B. k>－1且k≠0 C. k－1且k≠0，故选B.
变式题2 ：A 思路分析：分k=0或k≠0两种情况进行分类讨论.
探究点二：公式法解一元二次方程
例2 解：(1)a=1，b=－4，c=－7，Δ=b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不等的实数根即.
(2)a=2，b=，c=1，Δ=b2－4ac=()2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即.
(3)方程化为5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，Δ=b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不等的实数根即.
(4)方程化为x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，Δ=b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根.
练一练2. x1 = 2， x2 =－9. 3. 4.
5.方程没有实数根.
当堂检测
1. C 2. B3. k≥－1 .
4.(1)
书写通关
解：a＝ 1 ，b＝ －5 ，c＝ －6 .
∵Δ＝ (－5)2－4×1×(－6)＝49 ＞0，
∴x＝ 5±492×1 ，
即x1＝ 6 ，x2＝ －1 .
(2)解：x1＝22，x2＝2.
(3)解：y1＝12，y2＝－2.
(4)解：无实数根.
判别式的情况
根的情况
Δ的值
根的情况