高中人教A版 (2019)幂函数练习题

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考点一 幂函数的辨析
【例1-1】下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.
【例1-2】函数是幂函数，则实数的值为______________．
【答案】或
【解析】由题意，解得m=2或-1
【一隅三反】
1．在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是（ ）
A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D．①②④⑤⑥
【答案】C
【解析】幂函数是形如（，为常数）的函数，①是的情形，②是的情形，⑥是的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数.故选：C.
2.已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m= ，n=
【答案】见解析
【解析】 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq \f(3,2)
考点二 幂函数的三要素
【例2-1】已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________．
【答案】
【解析】由题意知，设幂函数的解析式为为常数)，则，解得，
所以.故答案为：
【例2-2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A．RB．
C．D．
【答案】C
【解析】设，因为的图象过点，所以，解得，则，
故的定义域为．故选：C
【一隅三反】
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为．故选：B．
2．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，定义域、值域相同；
由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，，定义域、值域不相同.故选：D
3．已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______．
【答案】
【解析】由题意，设，代入点得，解得，则.故答案为：.
考点三 幂函数的性质
【例3-1】已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】C
【解析】由函数为幂函数知，，解得或.
∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，
当时，，符合题意，∴，，∴.故选：C.
【例3-2】设，则使幂函数为奇函数且在上单调递增的 的值的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，的定义域为 ， 在上单调递减，不满足；
当时，的定义域为，不具奇偶性，不满足；
当时，的定义域是R，是偶函数，不满足；
当时，的定义域是R，是奇函数，并且在上单调递增，满足；
当时，的定义域是R，是奇函数，并且在上单调递增，满足，
所以使幂函数为奇函数且在上单调递增的 的值的个数是2.故选：B
【例3-3】已知函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，解得或，因为在递减，在递增，
又因为在递增，所以增区间为故选：A
【例3-4】已知幂函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为幂函数是增函数，且定义域为，由得，解得.所以实数a的取值范围是故选：B
【一隅三反】
1．幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A．B．3C．或3D．
【答案】A
【解析】因为是幂函数，故，解得或，
又因为幂函数在上单调递减，所以需要，则故选：A
2．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则或，所以函数的定义域为，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间是.故选：B.
3．已知幂函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】为幂函数，，解得：或；当时，为偶函数，满足题意；当时，为奇函数，不合题意；综上所述：.故选：A.
4．（多选）已知函数的图象经过点，则（ ）
A．的图象经过点B．的图象关于原点对称
C．单调递减区间是D．在内的值域为
【答案】BD
【解析】将点代入，可得，则，因为，故的图象不经过点(2，4)，A错误；根据反比例函数的图象与性质可得：的图象关于原点对称, 单调递减区间是和，在内的值域为，故BD正确，C错误.故选：BD.
5．（多选）若函数是幂函数且为奇函数，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BD
【解析】因为函数是幂函数，所以，解得：或，
当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；
当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意，故选：BD.
考点四 幂函数的图像
【例4】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、、B．、、C．、、D．、、
【答案】D
【解析】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，结合选项知，指数的值依次可以是．故选：D.
【一隅三反】
1．若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（ ）
A．；B．，；
C．，；D．，．
【答案】B
【解析】由图象知；在上递增，所以，由的图象增长的越来越慢，所以，
在上递减，所以，又当时，的图象在的下方，所以，故选：B
2．如图是幂函数的部分图像，已知取、、、这四个值，则于曲线相对应的依次为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】当时，幂函数在上单调递减，当时，幂函数在上单调递增，
可知曲线、对应的值为正数，曲线、对应的值为负数，
当时，幂函数在上的增长速度越来越快，可知曲线对应的值为，
当时，幂函数在上的增长速度越来越慢，可知曲线对应的值为，
令，分别代入，，得到，，因为，可知曲线、对应的值分别为、.故选：A.
3．若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则､的大小关系正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】和在上单调递增，所以，，当时，图象在上方，所以，当时，图象在下方，所以，所以，故选：A.
考点五 幂函数的综合运用
【例5】已知幂函数在区间上是减函数．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数的奇偶性和单调性；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)或或(2)答案见解析(3)答案见解析
【解析】(1)依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或
(2)若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减；
(3)若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
若，则为偶函数，当时，所以时，所以函数的值域为；若，则为奇函数，当时，所以时，所以函数的值域为；
【一隅三反】
1．已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)由题得或.
当时，在上为增函数，符合题意；
当时，在上为减函数，不符合题意.综上所述.
(2)由题得，令，
抛物线的对称轴为，所以.
所以函数的值域为.
2．已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数．
(1)求的值；
(2)求满足不等式的实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，解得，
又因为，所以或或，
当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；综上所述，.
(2)由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数，
则由得，即，即，解得，
所以满足的实数的取值范围为.
3．已知幂函数满足：
（1）在区间上为增函数
（2）对任意的，都有，
求同时满足（1）（2）的幂函数的解析式，并求当时，的值域．
【答案】；值域是．
【解析】因为函数在上递增，所以，解得，
因为，，所以，，或．
又因为，所以是偶函数，所以为偶数．
当时，满足题意；
当时，不满足题意，所以,
又因为在上递增．所以，，故函数的值域是 ．
4．已知幂函数（）的图像关于轴对称，且.
（1）求的值及函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，函数（）的图像关于轴对称，且，
所以在区间为单调递增函数，所以，解得，由，。
又函数的图像关于轴对称，所以为偶数，所以，所以.
（2）因为函数图象关于轴对称，且在区间为单调递增函数，
所以不等式，等价于，解得或，
所以实数的取值范围是.
3.3 幂函数（精练）
1 幂函数的辨析
1．下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】形如（为常数且）为幂函数，所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.
2．下列函数是幂函数的是（ ）
A．；B．；C．；D．.
【答案】C
【解析】A. 是一次函数；B. 是常函数；C. 是幂函数；D. 是指数函数.
故选：C
3．下列函数属于幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据幂函数的概念可知B选项正确.故选：B.
4．给出下列函数：
①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【解析】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，则可知①和④是幂函数.故选；B.
2 幂函数的三要素
1．幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为幂函数的图象过点，所以有：，即.所以，故，故选：C.
2．下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】A，则需要满足，即，所以函数的定义域为，故A不符合题意；
B，则需要满足，所以函数的定义域为，故B不符合题意；
C，则需要满足，所以函数的定义域为，故C不符合题意；
D，故函数的定义域为，故D正确；故选：D.
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则∴，即.故选：C.
4．已知函数是幂函数，则的值为_____．
【答案】8
【解析】依题意得，，，则，故答案为：8
5．函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】函数解析式为，则，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.
3 幂函数的性质
1．已知幂函数()在上是减函数，则n的值为（ ）
A．B．1C．D．1和
【答案】B
【解析】因为函数是幂函数所以所以或当时在上是增函数，不合题意.当时在上是减函数，成立故选：B
2．已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ）
A．－1B．－1或3C．3D．2
【答案】C
【解析】由题意知：，即，解得或，
∴当时，，则在上单调递减，不合题意;
当时，，则在上单调递增，符合题意,∴,故选：C
3．已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2B．16C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，解得，所以，故,故选：D
4．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．为偶函数D．为减函数
【答案】C
【解析】因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又 在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误；故选：C
5．（多选）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A． B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数 D．函数的图象关于原点对称
【答案】ABD
【解析】因为幂函数在上是增函数，
所以，解得，所以，所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，所以在上单调递增；故选：ABD
6．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式 ．
【答案】
【解析】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，
又∵，∴或1．因为函数是偶函数，将分别代入，
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
当时，，函数为是偶函数，满足条件.
的解析式为．
4 幂函数的图像
1．如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且D．是偶数，且
【答案】C
【解析】函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：C.
2．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，故选：D
3．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数图象可得：①对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故，故D选项符合要求.故选：D
4．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【答案】（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B
【解析】（1）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递增；
（2）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递增；
（3）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递增；
（4）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递减；
（5）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递减；
（6）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递减.
对比分析可知对应关系为（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B.
故答案为：（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B
5 幂函数的综合运用
1．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，∴，∵，
∴，即或2，
∵在上单调递增，为偶函数，∴，即．
(2)∵
∴，，，
∴，即的取值范围为．
2．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）2．
【解析】（1）．，
，（）即或
在上单调递增，为偶函数即
（2）
，，，∴
（3）由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．所以的最小值是2．
3．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵函数为幂函数，，解得或5，
当时，，为奇函数，当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，当时，函数，
当，函数取得最大值为1，的值域为，故函数的值域为．
4．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.
（1）求和的值；
（2）求满足的的取值范围.
【答案】（1）或；；（2）
【解析】（1）函数为幂函数，，即，解得或，
函数在上是减函数，解得，
又函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数，
，当时，，函数不是偶函数，舍去；
当时，，函数为偶函数，满足条件；
当时，，函数不是偶函数，舍去；
综上所述，.
（2）由（1）可知，因为在，上单调递减，
所以等价于或或，
解得或.故的取值范围为
5.已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）∵幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，
，且为偶数. 又，解得，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.
当时，由得. 易知函数在上单调递减，
.∴实数的取值范围是.
6.已知幂函数（其中，）满足：
①在区间上为减函数；
②对任意的，都有.
求幂函数的解析式，并求当时，的值域.
【答案】，值域为
【解析】，，，0，1.
对任意，都有，即，是偶函数.
当时，，满足条件①②；
当时，，不满足条件①；
当时，，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数的解析式为，且在区间上是增函数，当时，函数的值域为.