高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质一课一练

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函数单调性的定义：
如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。
单调性的定义的等价形式：
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数。
在是增函数。
复合函数单调性的判断。（同增异减）
函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.
即若在区间上递增（递减）且()；
若在区间上递递减且.().
5.在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。
6.函数在上单调递增；在上是单调递减。
7.复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性． 一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下:
1．若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数;
2．若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下:
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作:
1．将复合函数分解成基本初等函数：，;
2．分别确定各个函数的定义域;
3．分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．
注 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数;若为一增一减或一减一增，则为减函数．
题型目录：
题型一：用定义法证明函数单调性
题型二：抽象函数单调性的判断证明
题型三：函数单调性定义的理解
题型四：基本初等函数的单调性
题型五：函绝对值函数的单调性判断
题型六：已知函数的单调性求参数范围
题型七：分段函数的单调性求参数范围
题型八：复合函数单调性（同增异减）
题型九：抽象函数单调性解不等式
【典型例题】
题型一：用定义法证明函数单调性
证明函数单调性的步骤:
(1)取值:设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
(3)定号:判断差的正负或商与的大小关系；
(4)得出结论．
【例1】证明函数在（0，1）上是减函数。
证明：设，且，则
因为，且，所以，所以，所以，所以函数在（0，1）上是减函数。
【例2】已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数.
【答案】证明见解析
解：当时，，任取，且，则 .因为，所以，，，所以，即.所以在上是增函数.
【题型专练】
1．已知函数，且 .
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.
【答案】(1)，(2)单调递增，证明见解析
【分析】（1）直接根据题意代入求值即可；
（2）根据定义法判断函数在区间上的单调性即可.
（1）因为，所以，所以.
（2）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，所以，因为，所以所以，即，所以在上单调递增.
2.判断 在 的单调性.
【答案】函数在 内单调递减，在 内单调递增．
【分析】根据单调性的定义，假设自变量的大小，作差比较函数值的大小，进而可判断单调性.
【详解】设，
则
（1）假如，则
又，所以故函数单调递减；
（2）假如，则
又所以故函数单调递增；
所以函数在内单调递减，在内单调递增．
3.已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；
【答案】在上单调递增，证明见解析
【分析】设，由可证得在上单调递增.
【详解】在上单调递增，证明如下：设，
；
，，，，，
是在上单调递增.
题型二：抽象函数单调性的判断证明
类型一：型
【例1】已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明；
解析：设是区间上的任意两个实数，且，
所以，
因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减.
【题型专练】
1.已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性。
解析：设是区间上的任意两个实数，且，
所以，
因为且，所以，所以，所以，
即，所以在上单调递增
2．定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
【答案】(1),，(2)证明见解析
【分析】（1）赋值计算得解；（2）根据定义法证明单调性；
【详解】(1)得，则，而，
且，则；
(2)取定义域中的任意的，，且，，
当时，，，
，在上为减函数．
类型二：型
【例1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有.
（1）试说明：函数是上的单调递减函数；
解析：设是区间上的任意两个实数，且，
所以，
因为且，所以，所以，所以，
即，所以在上单调递减
【题型专练】
1.已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性。
解析：设是区间上的任意两个实数，且，
所以，
因为且，所以，所以，所以，
即，所以在上单调递增
类型三：型
【例1】已知定义域为，对任意都有，且当时，.(1)试判断的单调性，并证明；
解析：设是区间上的任意两个实数，且，
所以，
因为且，所以，所以，所以，
即，所以在上单调递减
【题型专练】
1.已知定义域为，对任意都有，且当时，.
(1)试判断的单调性，并证明；
解析：设，则，所以，即，
任取，且，则，
所以
即，所以在上单调递增.
题型三：函数单调性定义的理解（注意对于任意字样）
【例1】下列命题正确的是（ ）
A．若对于，，，都有，则函数 在R上是增函数
B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数
C．若对于，都有成立，则函数 在R上是增函数
D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数
【答案】AB
【详解】A选项中，化简为，
故函数在R上是增函数；
B选项中，故函数在R上是增函数；
C选项中，令，表示不超过x的最大的整数，满足，但在R上不是增函数；
D选项中，令，但函数在R上不单调．
【题型专练】
1.给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）
A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4].
B．函数的单调递减区间是
C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数.
D．、是在定义域内的任意两个值，且