人教A版 (2019)必修 第一册函数的概念及其表示课后测评

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考点一 区间的表示
【例1-1】将下列集合用区间表示出来．
(1)； (2)； (3)； (4)或．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4).
【解析】(1)用区间表示为；
(2)用区间表示为；
(3)用区间表示为；
(4)或用区间表示为.
【例1-2】若函数的定义域为，值域为，则a的取值范围是________.
【答案】
【解析】由区间的定义知，解得.
【方法总结】
用区间表示数集的原则有
①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；
用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；
（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
【一隅三反】
1．用区间表示下列集合：
（1）______；
（2）______；
（3）______．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）根据集合与区间的改写，可得．
（2）由或．
（3）由或．
2．下列集合不能用区间的形式表示的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集
①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，
④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．
⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为，故答案为：D.
2．已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.
【答案】.
【解析】由为一个确定的区间知，解得，因此a的取值范围是.
故答案为：
考点二 函数概念的辨析
【例2-1】设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．②
【答案】C
【解析】由题意，函数的定义域为，
对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；
对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；
对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.故选：C
【例2-2】下列是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A．，对应法则
B．，，对应法则
C．，对应法则
D．，，对应法则
【答案】B
【解析】A：当，，但，所以集合A中的
一个元素在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故A错误；
B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故B正确；
C：集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；
D：集合A中元素为0时，其倒数不存在，所以在集合B中五对应元素，不是函数，故D错误；
【一隅三反】
1．下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，
故选：B
2．如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．
【答案】④
【解析】根据函数的定义，在③中，存在一个x对应两个y，③不是函数；
①，②中函数的值域不是，故排除①②③；可知④符合题意.故答案为：④．
3．有对应法则f：
（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；
（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；
（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；
（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；
（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.
其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．
【答案】（1）(4)
【解析】（1）由函数的定义知，正确；
（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；
（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；
（4）由函数的定义知，正确；
（5）因为集合A不是数集，故错误；故答案为：（1）(4)
考点三 函数的定义域
【例3-1】函数的定义域为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】要是函数有意义，必须，解之得则函数的定义域为故选：D
【例3-2】（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
(4）已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】（1）；（2）；（3）.(4)
【解析】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．
∴，∴，即的定义域为．
（2）由题意知中的，∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．
（3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．
又，即，∴函数的定义域为.
（4）由题函数的定义域为，在中，
所以，在中，所以.
【例3-3】（1）若函数的定义域为R，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】（1）D（2）D
【解析】（1）若的定义域为R，则当时，满足题意；
当时，，解得：；
当时，无法满足定义域为R．综上所述：，D正确．故选：D
（2）由题意可知，的解集为，
①当时，易知，即，这与的解集为矛盾；
②当时，若要的解集为，则只需图像开口向上，且与轴无交点，即判别式小于0，即，解得，
综上所述，实数a的取值范围是.故选：D.
【一隅三反】
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】使得函数的表达式有意义，则且，解得故选：D
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．故选：C.
3．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，所以，则，
所以，解得，所以的定义域为，故选：B
4．已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，所以要使函数有意义，只需，即，所以函数的定义城是.故答案为：
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】函数的定义域为，即，所以，
所以，即，所以函数的定义域为.故答案为：.
6．已知函数，若的定义域为，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】由已知得对恒成立，即，∴.
故答案为：.
7．函数的定义域为，若，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由于，所以解得或.所以的取值范围是.故答案为：
8．已知函数的定义域为，求实数的取值范围 .
【答案】
【解析】由题意，函数的定义域为，即在上恒成立，
当时，对任意恒成立；
当时，要使恒成立，即方程无实根，
只需判别式，解得，综上，实数的取值范围是.
考点四 函数的表示方法
【例5-1】已知函数，部分与的对应关系如表：则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由表知，，则．故选：D．
【例5-2】（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求函数的解析式；
（5）已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
【解析】（1）∵，∴．
（2）设，则，，即，∴，
∴．
（3）∵是二次函数，∴设．由，得．
由，得，整理得，
∴，∴，∴．
（4）∵，①∴，②
②①，得，∴．
（5）令，则，∴．
【例5-3】作出下列函数的大致图像
（1）； （2）；（3）；（4）；（5）．
【答案】见解析
【解析】（1），图象如图所示：
（2），图象如图所示：
（3），图象如图所示：
（4），图象如图所示：
（5）
，
【一隅三反】
1．已知函数，用列表法表示如下：
则（ ）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由列表可知.故选：B.
2．根据下列条件，求函数的解析式；
（1）已知是一次函数，且满足；
（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；
（3）已知；
（4）已知等式对一切实数､都成立，且；
（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；
（6）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6）．
【解析】（1）设，则
所以解得：所以；
（2）设
，解得：
（3）
，
令，由双勾函数的性质可得或，
，或
（4）因为对一切实数､都成立，且
令则，又因为
所以，即
（5）将代入等式得出，
联立，变形得：，解得
（6）由题意得：定义域为
设，则 ．
3．把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域并作出函数图像：
（1）； （2）.
【答案】（1）定义域为，值域为，图像见解析；（2）定义域为，值域为，图像见解析.
【解析】（1），定义域为，值域为，图像如图所示：
（2）定义域为，值域为.图像如图所示：
考点五 相等函数的判断
【例5】下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【解析】A．函数的定义域为，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数
C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数
D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C．
【一隅三反】
1.下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
2．下列函数中与函数是同一函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为R.
对于A：的定义域为，故与函数不是同一函数.故A错误；
对于B：的定义域为，故与函数不是同一函数.故B错误；
对于C：的定义域为R，但是，故与函数不是同一函数.故C错误；
对于D：的定义域为R，且，故与函数是同一函数.故D正确.
故选：D.
3．下列各组函数的图象相同的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【解析】若函数与的图象相同则与表示同一个函数，
则与的定义域和解析式相同.
A：的定义域为，的定义域为，故排除A；
B：，与的定义域、解析式相同，故B正确；
C：的定义域为R，的定义域为，故排除C；
D：与的解析式不相同，故排除D.故选：B
考点六 分段函数
【例6-1】函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是( )
A．B．±C．0或1D．
【答案】A
【解析】若f(x)＝2，①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；
②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；
③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).综上，x＝.故选：A.
【例6-2】已知函数，若，则a的值是（ ）
A．3或B．或4C．D．3或或4
【答案】B
【解析】函数，当时，，解得 ，
当 时，，解得，综上：或，故选：B
【一隅三反】
1．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求x的值.
【答案】(1)(2)或4
【解析】(1)，，.
(2)当时，，，不符合；
当时，，，其中，符合；
当时，时，，符合.
综上所述：x的值是或4.
2．已知
（1）画出的图象；
（2）若，求x的取值范围；
（3）求的值域.
【答案】（1）作图见解析；（2）；（3）[0，1].
【解析】（1）利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.
（2）由于，结合函数图象可知，使的x的取值范围是.
（3）由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0，1]；当x>1或x4x-13；（4）.
【答案】(1)(2)（3）；（4）
【解析】(1)由题意，
(2)由题意，且且
（3）由解得，故不等式的解集为，数轴表示如下：
（4）由解得，故不等式的解集为，数轴表示如下：
4．用区间表示下列数集：
（1）； （2）；
（3）； （4）R；
（5）； （6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【解析】（1）；（2）；（3）；
（4）R=；（5）；（6）．
2 函数的判断
1.如图，可以表示函数的图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求故选：D
2.若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故错误；
C中图象不表示函数关系，因为存在一个对应两个，不满足函数定义；
D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}.只有中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.
3．下列图形能表示函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数的定义：对于集合中任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为A→B从集合到集合的一个函数可知，只有B选项能表示函数的图象.故选：B
4．（多选）下列各图中，可能是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】B选项，时每一个x的值都有两个y值与之对应，不是函数图象，B错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．故选：ACD．
5．（多选）下列选项中所给图象是函数图象的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】根据函数的定义，在定义域内作一条直线，将直线在定义域内左右移动，如果直线与图象的交点始终只有一个，则图象是函数图象，据此可判断C，D选项所给图象是函数图象，故选：CD.
3 函数的定义域
1．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．
【答案】B
【解析】由题意知，，解得，即函数的定义域为.故选：B
2．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，解得且．函数的定义域为．故选：C．
3．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得且，所以函数的定义域为，故选：B.
4．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依题意可得，即，即，解得，即函数的定义域为；故选：A
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，所以，解得
6．若函数的定义域为，则函数的定义域为
【答案】
【解析】函数的定义域为，则函数的定义域满足且，即，所以函数的定义域为
7．已知的定义域为，则的定义域为
【答案】
【解析】由的定义域为，得，所以，所以，的定义域为，令，得，即，所以的定义域为.
8．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】由题意可知，函数的定义域为，所以不等式在上恒成立.
当时，当时，，所以不等式在上恒成立显然不成立，当时，则满足，解得，综上，实数的取值范围是.故选：B.
9.若函数的定义域为，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】函数的定义域为等价于恒成立，当时，显然不恒成立；当时，由，得，综上，实数的取值范围为．故选：C．
10.已知函数的定义域为，则实数a的取值集合为
【答案】{1}
【解析】由可得，即的定义域为，所以，则实数a的取值集合为.选：A.
11．若函数的定义城为R， 则实数 a的取值范围是
【答案】[0，）
【解析】要满足题意，只需在上恒成立即可.当时，显然满足题意.
当时，只需，解得.综上所述，故选：D.
12．已知函数的定义域为R，则a的取值范围是
【答案】
【解析】由题意，函数有意义，则满足，因为函数的定义域为，即不等式在上恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，恒成立，符合题意．
当时，不符合题意，综上可得，实数的取值范围是．故选：D.
13．求下列函数定义域
（1）已知函数的定义域为，求的定义域.
（2）已知函数的定义域为，求的定义域
（3）已知函数的定义域为，求的定义域.
（4）设函数的定义域为，则的定义域.
（5）若的定义域为，求的定义域
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（5）.
【解析】（1）由条件可知，得或，
所以函数的定义域是；
（2）函数的定义域为，即，，
所以函数的定义域是；
（3）函数的定义域为，即，即，
所以函数的定义域是，
令，即，解得：，
所以函数的定义域是；
（4）由条件可知，解得：，所以函数的定义域是.
（5）由条件可知，解得：，
所以函数的定义域是.
14．已知函数的定义域为集合.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由题得恒成立，所以，所以.
(2)由题得在上恒成立，即，
当，即时，在上单调递增，
则时，，所以；
当，即，在上单调递减，在上单调递增，
则时，，所以；
当，即时，在上单调递减，
则时，，又，所以此时无解.综上所述：.
4 函数的表示方法
1．已知函数和的定义如下表格所示，则不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由表格知：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
综上，的解为.故选：C
2．若函数如下表所示．
若，则_______．
【答案】0或1
【解析】由函数列表可知：，而，∴，结合列表知：或.故答案为：0或1
3．已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为___________.
【答案】
【解析】根据顶点为（-2，3），设，由f（x）过点（-3，2），得
解得a=-1，所以故答案为：
4．（1）已知是一次函数，且，求；
（2）已知是二次函数，且满足，求.
（3）已知，求的解析式．
（4）若对任意实数，均有，求.
（5）已知，求的解析式；
（6）已知，求的解析式.
【答案】（1）或 ；（2）.（3）
（4）；（5），；（6），.
【解析】（1）设，则
因为，所以所以解得或
所以或
（2）设由，得由
得整理，得所以 所以
所以
（3）设，则，所以．
（4）∵（1）∴（2）由得，
∴.
（5）因为，所以，所以，
（6）因为，①所以，②消去解得，
5．已知函数f(x)= x+|2x+4|.
(1)画出函数的图象；
(2)求不等式f(x)