高中数学人教版第一册上册函数的单调性当堂达标检测题

这是一份高中数学人教版第一册上册函数的单调性当堂达标检测题，共14页。试卷主要包含了增函数与减函数的定义，函数单调性的运算性质等内容，欢迎下载使用。

一.增函数与减函数
1．增函数与减函数的定义
（1）定义中x1，x2有三个特征：
一是x1，x2同属于一个单调区间；
二是x1，x2是任意的两个实数，证明单调性时不可随意用两个特殊值代替；
三是x1与x2有大小，通常规定x1＜x2，但也可规定x2＜x1.
(2)函数的递增(或递减)是针对定义域I内的某个区间D而言的，显然D⊆I.
(3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时，函数单调递增；符号相反时，函数单调递减．
(4)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域.
(5)若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接.
2．函数单调性的运算性质
若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质．
(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．
(2)若a为常数，则当a＞0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a＜0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性．Q
（3）在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
二．函数的最大值与最小值
(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值.
(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略.
(3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个.
(4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.

一．利用定义证明函数单调性的步骤：
1.取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x12.作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；
3.定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；
4.结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.
二．常见函数的单调性
三．利用函数的单调性求最值的常用结论
1.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(a)，最大值ymax＝f(b)．
2.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值ymin＝f(b)，最大值ymax＝f(a)．
3.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，在区间[b，c]上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)，最小值为f(a)与f(c)中的较小者．
4.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，在区间[b，c]上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)，最大值为f(a)与f(c)中的较大者．
四．求二次函数最值的常见类型及解法
1、类型一：是函数定义域为实数集R
法一：根据开口方向，用配方法即可求出最大(小)值
法二：根据开口和对称轴求出最值
2.类型二：定义域为某一区间----开口方向和对称轴的位置来决定
对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：
(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；
(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；
(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.
通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况：
①若x＝－eq \f(b,2a)在区间[m，n]内，则最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)))，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与x＝－eq \f(b,2a)距离较远的一个对应的函数值为最大值)；
②若x＝－eq \f(b,2a)＜m，则f(x)在区间[m，n]上单调递增，最大值为f(n)，最小值为f(m)；
③若x＝－eq \f(b,2a)＞n，则f(x)在区间[m，n]上单调递减，最大值为f(m)，最小值为f(n)．
五．函数单调性应用
1.由函数解析式求参数
若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件．
若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性．
若为复合函数y＝|f(x)|或y＝f(|x|)——数形结合，探求参数满足的条件．
2.解不等式
当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．
3.比较大小
利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小，在解决比较函数值大小的问题时，需要自变量在同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小
考点一 判断或证明函数的单调性
【例1】（2023·新疆乌鲁木齐）已知函数，判断并证明在上的单调性.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一假期作业）用定义证明：函数在上是增函数．
2．（2023·福建）求证：函数在区间上是减函数．
3．（2023·云南）根据定义证明函数在区间上单调递增.
考点二 函数的单调区间
【例2-1】（1）（2023·北京）函数，的单调减区间为（ ）
B．C．D．
（2）（2022·全国·高一专题练习）函数的单调增区间为（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0），（0，+∞）
（3）（2023·天津和平）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．，
（4）．（2023·全国·高一假期作业）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A．B．和
C．D．和
（5）（2023春·高一校考开学考试）函数的单增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（ ）
A．函数在上是增函数B．函数在上是减函数
C．函数和函数的单调性相同D．函数和函数的单调性相同
2．（2023·浙江温州）函数单调减区间是___________.
3．（2023·全国·高一假期作业）已知函数，则的单调递增区间为__________.
4．（2023·上海杨浦）函数的单调减区间为___________.
考点三 函数单调性的应用
【例3-1】（1）（2023·北京）设函数是上的减函数，则有（ ）
A．B．C．D．
（2）（2023·全国·高一专题练习）“”是“函数在区间上为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（3）（2023安徽芜湖）已知函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（1）（2023·高一课时练习）函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2023·江西抚州）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．或C．D．
【例3-3】（2023·福建）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．不确定
【一隅三反】
1．（2023·湖南常德）若函数在上单调递增,则a的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（2022·广东梅州）已知函数在上单调，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·四川广安·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·高一课时练习）己知是函数的增区间，则下列结论成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高一假期作业）设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国·高一假期作业）已知是定义在上的减函数，则不等式的解集为________.
考点四 函数的最值
【例4-1】（2023·北京）函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（ ）
A．B．2，5C．1，2D．
【例4-2】（2022秋·高一单元测试）当时，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【例4-3】（2023·内蒙古通辽）已知函数的最大值为m，的最小值为n，则______．
【一隅三反】
1．（2023春·云南普洱）函数的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．以上都不对
2．（2022秋·天津和平）设函数，则的值域是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022秋·新疆·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）若函数的值域是，则实数的取值范围是 __．
考点五 二次函数的最值
【例5】（2023·广东）已知函数.
(1)求的最小值;
(2)求的最大值.
【一隅三反】
1．（2023·上海闵行）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值.
2．（2022秋·云南·高一校联考阶段练习）已知二次函数，非空集合.
(1)当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围；
(2)当__________时，求二次函数的最值以及取到最值时的取值.
在①，②，③，这三个条件中任选一个补充在（2）问中的横线上，并求解.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
3．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知函数.
(1)当时，求的解集；
(2)求函数在区间上的最小值.
考点六 抽象函数
【例6】（2023·江西抚州）已知函数的定义域为,且对任意的正实数都有,且当时,,.
(1)求;
(2)求证:为上的增函数;
(3)解不等式.
【一隅三反】
1．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是上的增函数；
(2)若，解不等式．
2．（2023·重庆沙坪坝）已知定义在的函数满足以下条件：
①；
②当时，；
③对，均有．
(1)求和的值；
(2)判断并证明的单调性；
(3)求不等式的解集．
前提条件
设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I
条件
∀x1，x2∈D，x1都有f(x1)都有f(x1)>f(x2)
图示
结论
f(x)在区间D上单调递增
f(x)在区间D上单调递减
特殊情况
当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
增
增
增
不能确定单调性
增
减
不能确定单调性
增
减
减
减
不能确定单调性
减
增
不能确定单调性
减
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
f(x)≤M
f(x)≥M
∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
函数
单调性
一次函数y＝ax＋b(a≠0)
a＞0时，在R上单调递增；
a＜0时，在R上单调递减
反比例函数y＝eq \f(a,x)(a≠0)
a＞0时，减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；
a＜0时，增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)
二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0)
a＞0时，减区间是(－∞，m]，增区间是[m，＋∞)；
a＜0时，减区间是[m，＋∞)，增区间是(－∞，m]