高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.2 函数的基本性质当堂达标检测题

3.2.1《单调性与最大(小)值》

分层练习

考查题型一  用定义判断(证明)函数的单调性

1．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】对于A项，因为在上是增函数，

所以对于任意的，（），

当时，，所以，，所以，

当时，，所以，，所以，

综述：，故A项正确；

对于B项，因为在上是增函数，

所以对于任意的，（），

当时，，所以，，所以，

当时，，所以，，所以，

综述：，故B项不成立；

对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立.

故选：A.

2．已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】因为函数在上单调递增，且，

由增函数的定义可知，当时，有，

充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，

若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.

即对实数，“”是“”的充要条件.

故选：C

3.已知函数，则该函数在区间上的值域是            

【答案】

【详解】因为，，

设，

则，

，

，，即，

，即，函数在区间上单调递减；

又，，

所以，即函数在区间上的值域是.

故答案为：

4．已知函数，．

(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；

(2)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)在上单调递增；证明见解析.(2)．

【详解】（1）证明：，，

任取，可知，

因为，所以，，，

所以，即，

故在上单调递增；

（2）由（1）知：在上单调递增，

所以，可得，解得

故实数m的范围是．

考查题型二  图象法求函数的单调区间

1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）

A．是函数的增区间 B．是函数的减区间

C．函数在上是增函数 D．函数在上是减函数

【答案】C

【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；

函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，

并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；

由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，

故函数在上是减函数，D正确，

故选：C

2．已知函数的图象如图所示，若在上单调递减，则的取值范围为        ．

【答案】

【详解】由图可知，的单调递减区间为、．

因为函数在上单调递减，则或，

由题意得或，即或．

故答案为：.

3.已知函数．

(1)作出函数的图象；

(2)根据图象写出的单调递增区间．

【答案】(1)见解析；(2)，

【详解】（1）由，

作出函数图象，如图，

（2）由图象可知，函数单调增区间为，.

4.设函数，若函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【详解】因为当时，均为增函数，故只能为R上的单调递增函数，

在上为增函数，在上为减函数，故，

当时，，观察图象知为R上的单调递增函数；

当时，，均为增函数，且在处，的函数值比的函数值小，观察图象知为R上的单调递增函数；

当时，当时，，从图象上看，图象比图象高，故为R上不再单调，所以不合题意；

综上：.

故答案为：.

考查题型三  函数的单调性的应用

1.已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】因为，可知开口向上，对称轴为，

则在上单调递减，在上单调递增，

又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2，

所以.

故选：D.

2．二次函数的最大值是3，则（   ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【详解】因为二次函数有最大值，

所以．

又二次函数的最大值为，

由题意得或，

因为，所以

故选：A.

3.若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是         .

【答案】

【详解】函数在区间上是严格增函数，则任取，都有，

即，

由，有，，所以，

由，则，即实数的取值范围是.

故答案为：

4.已知函数过点．

(1)求的解析式；

(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明．

(3)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)在区间上单调递增，证明见解析

(3)最小值为，最大值为.

【详解】（1）由函数过点，有，

解得，所以的解析式为：．

（2）在区间上单调递增.

证明：，且，有

．

由，得．

则，即．

所以在区间上单调递增．

（3）由在上是增函数，

所以在区间上的最小值为，最大值为.

5.已知

(1)函数的值域；

(2)用定义证明在区间上是增函数；

(3)求函数在区间上的最大值与最小值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)最大值，最小值

【详解】（1）由题意，函数，

因为，所以，

所以的值域为．

（2）任取，，且，

则，

，

，，

，

即，

故函数在区间上是增函数．

（3）由知函数在区间上是增函数，

，．

1.函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由题意,，不失一般性不妨假设，则，所以在上单调递减，

又，所以,

解不等式得,则正实数的取值范围为.

故选：B.

2．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　）

A．2 B．

C．2或 D．0

【答案】C

【详解】当时，由题意得，则；

当时，，则；

综上，.

故选：C.

3.已知，为方程的两个实数根，则的最大值为           .

【答案】

【详解】由题意可知：，解得，且，

则，

因为在上单调递增，则当时，取到最大值，

所以的最大值为.

故答案为：.

4．对任意，给定，，记函数，则的最小值是          .

【答案】4

【详解】由定义可知当时，

解之得，此时，

当时，则，解之得或，

此时，

综上，

易知在上单调递减，最小值为4，在取得；

在上单调递增，在上单调递减，所以，

综上的最小值是4.

故答案为：4.

5.已知函数

(1)用定义证明在上是增函数;

(2)若在区间[4]上取得的最大值为，求实数a的值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【详解】（1）设，则

，

， ，，，

，

在上是增函数.

（2）由（1）知，在[]上是增函数，

，解得.

6．已知二次函数，，的最大值为16；

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在区间的最大值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由已知函数是二次函数，且，

∴函数图象的对称轴为，

又的最大值为16，设，

又，

∴．

∴；

（2）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝下，

若，则在上是减函数，最大值；

若，即，则在上是增函数，；

若，即，则；

综上所述，当时，；

当时，；

当时，．