高中数学人教A版 (2019)必修 第一册函数的基本性质当堂检测题

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第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：函数的单调性
1、增函数与减函数
1.1增函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing functin).
1.2减函数
一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有，
那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的）
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing functin).
2、函数的单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间．
3、常见函数的单调性
知识点二：函数单调性的判断与证明
1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为
①取值：任取，，且；
②作差：计算；
③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数；
④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数；
⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性
2、图象法
一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性.
3、性质法
（1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反；
（2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同；
（3）和的公共定义区间，有如下结论；
知识点三：函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最大值；
2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足：
①，都有
②，使得
那么称是函数的最小值；
知识点四：复合函数的单调性（同增异减）
一般地，对于复合函数，单调性如下表示，简记为“定义域优先，同增异减”，即内层函数与外层函数单调性相同时，复合函数为增函数；内层函数与外层函数单调性不同时，复合函数为减函数：
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．判断正误．
（1）所有函数在定义域上都具有单调性．( )
（2）因为，所以函数在上是增函数．( )
（3）若为R上的减函数，则．( )
（4）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．( )
【答案】 错误 错误 正确 错误
（1）不是所有函数在定义域上都具有单调性，如不具有单调性，故错误；
（2）因为，所以函数在上是增函数是不正确的，两个数的比较不能代表区间内任意的变量都成立，故错误；
（3）由为R上的减函数，又因为，则，故正确；
（4）若函数在区间和上均为增函数，此时可能有分段函数情况，但函数在区间上为增函数不成立，故错误.
2．函数的递减区间是( )
A． B． C． D．
【答案】A
作出函数图象的图象，
由图象可知图象的减区间为
故选：A
3．函数，则的最大值为___________，最小值为___________．
【答案】 1
因为函数在区间上为减函数，
则
即
故最大值为1，最小值为
故答案为：1；
4．设函数，则( )
A．有最大值 B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
【答案】D
由题意可知函数单调递增，但定义域为，取不到最大值，也没有最小值；
故选：D
5．函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．，0 B．0，2 C．，2 D．，2
【答案】C
由图可得，函数在处取得最小值，在处取得最大值，
故选：C
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：利用定义法判断或证明函数的单调性
典型例题
例题1．已知函数判断函数在上的单调性，并用定义法证明你的结论；
【答案】(1)减函数，证明见解析
任取，， 且
则 -
因为，所以，
所以，即，
所以在区间上是减函数．
例题2．已知函数．试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
【答案】（1）在上单调递减，证明见解析；
（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，
∵，
∴，，，
∴，
∴在区间上单调递减；
同类题型演练
1．已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；
【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析
在区间上单调递增，证明如下：
，，且，
有.
因为，，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增.
2．已知.
(1)用定义证明在区间上是增函数；
【答案】(1)见解析
证明：任取，，，且，
则．
，，而，，
，即，
在区间，上是增函数；
重点题型二：求函数的单调区间
角度1：利用图象求函数的单调区间
典型例题
例题．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
对于A，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故A不符合题意；
对于C，函数分别在及上单调递增，
但存在，使，故C不符合题意；
对于D，函数分别在及上单调递减，
但存在，，使，故D不符合题意；
只有B完全符合增函数的定义，具有单调性.故选:B.
例题2．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：函数，画出函数的图象，如图所示：
函数的单调递减区间是，，故选：B
同类题型演练
1．如果函数的图象如图所示，那么此函数的减区间为__________.
【答案】
解：由函数的图象得此函数的减区间为：，
故答案为：.
2．如图是函数的图象．列出的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值．
【答案】答案见解析.
观察图象知，函数的递减区间是：，，，单调递增区间是，，
函数的最大值点是，最小值点是，
函数的最大值是，最小值是.
3．已知函数．
(1)画出的图象，并根据图象写出的递增区间和递减区间；
【答案】(1)作图见解析，递增区间为，递减区间为；
(1)
由函数，图象如图：
递增区间为，递减区间为；（注：写成也可以）
4．已知函数.
（1）在平面直角坐标系中画出函数的图象；（不用列表，直接画出草图．
（2）根据图象，直接写出函数的单调区间；
【答案】（1）作图见解析 ；（2）增区间为和；减区间为和；
（1）由题意，函数，
所以的图象如右图所示：
（2）由（1）中的函数图象，
可得函数的单调增区间为和，单调减区间为和．
角度2：求复合函数的单调区间
典型例题
例题1．函数的单调减区间为__________．
【答案】##
解：函数的定义域为，令，，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
故答案为：.
例题2．函数的单调递增区间为___________.
【答案】
由可得，解得：，所以函数的定义域为，
因为是由和复合而成，对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减，因为单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的单调递增区间为，故答案为：.
同类题型演练
1．函数的单调递增区间是________.
【答案】
令，解得或，所以函数的定义域为，
而函数的对称轴是，
故函数的单调递增区间是.
故答案为：.
2．已知函数，则的单调递增区间为______.
【答案】
，解得.
函数的对称轴为，开口向下，
根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间为.
故答案为：
重点题型三：函数单调性的应用
角度1：利用函数的单调性比较大小
典型例题
例题1．设偶函数的定义域为，当时，是减函数，试确定，，之间的大小关系．
【答案】
因为当时，是减函数，故，
而为偶函数，故，
故.
例题2．画出函数的图象，并根据图象回答下列问题.
(1)比较，，的大小；
【答案】(1)
(1)函数的定义域为R，
列表：
描点，连线，得函数图象如图.
根据图象，容易发现，，
所以.
角度2：利用函数的单调性解不等式
典型例题
例题1．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.
故选：C.
例题2．已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．（-2，1）C．（0，）D．（0，2）
【答案】A
因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
同类题型演练
1．已知是定义在上的增函数，且，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为是定义在上的增函数，且，
所以，即，解得，
所以x的取值范围为，
故选：B
2．已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
∵是定义在上的减函数，且，
则，解得.
故选：A.
3．设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是______．
【答案】.
由题意，函数是定义在区间上的严格增函数，
因为，可得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
角度3：利用函数的单调性求参数的取值范围
典型例题
例题1．已知在为单调函数，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，
故选：D
例题2．已知函数是上的增函数，则的取值范围为（ ）
A．[-4，0)B．[-4，-2]C．D．
【答案】B
解：因为且在上单调递增，
所以，解得，即
故选：B
例题3．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
同类题型演练
1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
2．函数在区间上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：因为函数，对称轴为，开口向上，要使函数在区间上是减函数，所以，解得
故选：A
3．函数在上是减函数.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由题意，函数在上是减函数，
根据一次函数的性质，则满足，解得.
故选：B.
4．已知函数，是R上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
解：若是上的增函数，则应满足，解得，即.
故选：C
5．已知函数，若在上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为函数，在上是增函数，
所以，
解得，
故选：D
重点题型四：求函数的最值
角度1：利用函数的单调性求最值
典型例题
例题1．函数在的值域为__________．
【答案】
因为的对称轴为
所以在上单调递增，
因为，所以值域为
故答案为：
例题2．函数在区间的最大值是______．
【答案】1
∵函数，
∴函数在区间上为单调增函数
∴当时，函数取得最大值，为.
故答案为：.
例题3．函数，的值域是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
任取，且，则
，
当，且时，，，所以，即，
当，且时，，，所以，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
所以在上的值域为
故选：A
同类题型演练
1．设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4B．6C．10D．24
【答案】C
因为f(x)= =2+，
所以f(x)在[3，4]上是减函数.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以.
故选：C.
2．函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为函数、在区间上均为增函数，故函数在上为增函数，
当时，.
故选：B.
3．函数，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意得，，
显然函数在上为减函数，
所以，当时，函数取得最大值，且最大值为，当接近时，接近，
所以的值域为.
故选：D.
4．）函数在区间上的最小值是（ ）
A．B．C．1D．-1
【答案】A
∵函数在上为减函数，
∴.
故选：A.
角度2：利用函数的图象求最值
典型例题
例题1．已知函数
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域.
【答案】(1)(2)或(3)图象见解析，
(1)因为，所以
(2)当时，，不合题意，应舍去
当时，
解得或（舍）
当时，，则
综上，或
(3)值域为
例题2．在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点(起点)向点(终点)移动，设点移动的路程为，的面积为．
(1)求的面积与移动的路程间的函数关系式；
(2)作出函数的图象，并根据图象求的最大值．
【答案】（1）；（2）8.
(1)这个函数的定义域为(0,12)，
当0＜x≤4时，S＝f(x)＝2x；
当4＜x≤8时，S＝f(x)＝8；
当8＜x＜12时，S＝f(x)＝·4·(12－x)＝24－2x.
∴这个函数的解析式为
(2)其图形如下，由图知，
[f(x)]max＝8.
同类题型演练
1．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补充完整函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域；
【答案】(1)作图见解析；
(2)单调递增区间为(－1,1)，值域R；
(1)由题图及y＝f(x)是定义在R上的奇函数，可得左侧图象如下：
(2)由（1）所得函数图象知：单调递增区间为(－1,1)，值域R.
2．）已知函数f（x）=|x﹣1|+1
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）在上边所给的坐标系中画出该函数的图象；
（3）写出该函数的单调区间及值域(不要求证明).
【答案】（1）；（2）答案见详解；（3）单调减区间为，单调增区间为，值域为.
解：（1）当时，f（x）=|x﹣1|+1，当时，f（x）=|x﹣1|+1，；
（2）由（1）中解析式，作图如下：
（3）由（2）中f（x）图像可知，单调减区间为，单调增区间为，值域为.
重点题型五：二次函数的最值问题
角度1：不含参数的二次函数最值问题
典型例题
例题1．函数的最大值为___________.
【答案】
由，则开口向上且对称轴为，又，
∴，，故函数最大值为.
故答案为：.
例题2．已知二次函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)求在区间上的值域．
【答案】(1)(2)
(1)因为二次函数，
所以，
，
又，∴，
解得，，，
故；
(2)由（1）的结论知，，所以在上单减，在上单增；所以当时，取得最小值，且其最小值；
而3到对称轴的距离比0到对称轴的距离远，所以当时，取得最大值，且其最大值；
故在上的值域为．
同类题型演练
1．函数
(1)当时，求函数的值域；
【答案】(1)
解：由题意，函数，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
综上函数在上的值域为.
2．求下列函数的最小值与最大值：
【答案】最小值为f()=，最大值为f(-3)=7；
由，对称轴为且开口向上，
∴在上有，.
3．已知函数．
(1)求函数的定义域和值域；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(1)定义域为，值域为
(2)，
(1)定义域为，值域为；
(2)因为图象开口向上，对称轴为，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
又，，所以．
4．已知函数．
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
【答案】(1)最小值是1，最大值是37
当时,
此时函数的对称轴为；
在上单调递减，上单调递增
当时，取最小值，且最小值为，
当时，取最大值，且最大值为．
角度2：含参数的二次函数最值问题
典型例题
例题1．已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
【答案】(1)最大值是，最小值是
(2)当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为.
(3)或
(1)时，，结合函数图像得：
在上的最大值是，最小值是；
(2)的对称轴是，
①当，即时，函数在上递增，
当时，取到最小值；
②当，即时，函数在上先递减后递增，
当时，取到最小值；
③当，即时，函数在上递减，
当时，取到最小值，
综上所得，当时，最小值；
当时，取到最小值；
当时，取到最小值.
例题2．已知是二次函数，且满足，，.
(1)求函数的解析式；
(2)当时，表示出函数的最小值，并求出的最小值.
【答案】(1)
(2)；.
(1)解：设，
因为，所以函数关于对称，
所以，
又，，
所以，解得，
所以；
(2)解：由（1）得，函数关于对称，
当时，函数在上递增，
所以，
所以当时，，，
当，即时，函数在上递减，
所以，
所以当时，，，
当时，函数在上递减，在上递增，
所以，
所以当时，，
综上所述，，.
例题3．已知二次函数．
(1)当时，求的最大值和最小值，并指出此时的取值；
(2)求的最小值，并表示为关于的函数．
【答案】(1)当时，的最小值为，当时的最大值为.
(2).
(1)当时，，对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，.
所以当时，的最小值为，当时的最大值为.
(2)的对称轴为，开口向上，
当即时，在上单调递增，
，
当即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，
当即时，在上单调递减，
，
所以.
同类题型演练
1．已知函数，且满足.
(1)求函数在区间上的值域；
(2)设，若对于任意，都有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)由题意知函数是二次函数，对称轴为，
因为，知其对称轴为，
所以，解得，则，
可知函数在上单调递减，在上单调递增.
则，，
所以函数的值域为.
(2)因为且，所以，
因为，
所以的最大值可能是或.
因为
，
所以，
要对任意，都有，只需，即，
则，解得，
又因为，所以，
所以的取值范围是.
2．已知函数 ( 为实常数).
(1)设 在区间 上的最小值为 ， 求 的表达式;
【答案】
若，则，该函数在上为减函数，故，
若，则的图象为开口向下的抛物线，且其对称轴为，
故在上为减函数，故，
若，则，故在上为减函数，
故，
若，则在上为减函数，在为增函数，
故，
若，则，故在上为增函数，
故，
综上，.
3．已知函数.
求函数在上的最小值；
【答案】(1)
由题意得，
当即时，，
当即时，，
当即时，，
故；
4．已知函数，．
(1)当时，求函数的最大值和最小值．
(2)当时，求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)，；(2)答案见解析.
(1)当时，，又，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，．
(2)由题意得：，
∴函数图像开口向上，对称轴方程为，
①若，即，则在上单调递增，
∴；
②若，则在上单调递减，在上单调递增，；
③若，即，则在上单调递减，
∴．
重点题型六：恒成立与能成立问题
典型例题
例题1．已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)当时，不等式恒成立；求实数的取值范围；
【答案】(1)
(2)
(1)由于是二次函数，可设，恒成立，
恒成立，
，
又，

；
(2)当时，恒成立，
即恒成立，
令，当时，单调递减，.
所以；
例题2．已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
(1)，则，又，则；
(2)，又存在使成立，即在上有解，
令，设，易得在单减，则，
即，故实数的取值范围为.
例题3．已知
(1)求二次函数的值域：
(2)当时，若二次函数的值恒大于0，求的取值范围．
【答案】(1)[0，](2)
(1)等价于，．
解得
所以．
∴二次函数，
函数在区间单调递增，所以当时，y取最大值为，
当时，y取最小值为0，
所以二次函数．的值域是[0，]．
(2)由（1）知
∵恒成立．
即恒成立．
∴恒成立． ．
∵．∴

∵，∴．
当且仅当且时，即时，等号成立，．
∴，故a的取值范围为
例题4．已知函数．
(1)已知m=-3，求函数在区间上的最大值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)8(2)
(1)当时，函数的图象开口向上，对称轴为，区间的中心为，故当时取得
(2)恒成立，只需在区间上的最大值即可，所以，得，所以实数的取值范围是，即
同类题型演练
1．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)f(x)＝4x2－8x＋2
(2)(－∞，－2)
(1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，
得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2．
(2)因为存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1，2]，使不等式m