数学必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示同步达标检测题

9.3向量基本定理及坐标表示同步练习苏教版（ 2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 在菱形ABCD中，，，，，若，则   

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则   

A.  B.
C.  D.

3. 已知向量，若，则       

A. 5 B.  C. 6 D.

4. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若，则

A. 3
B. 5
C.
D. ．

5. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年．如图，在矩形ABCD中，满足“勾3股4弦5”，且，E为AD上的一点，，若，则的值为     

A.  B.  C.  D. 1

6. 如图，在矩形ABCD中，，分别为的中点，G为EF中点，则   

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在矩形ABCD中，，分别为的中点，G为EF中点，则   

A.
B.
C.
D.

8. 在矩形ABCD中，，，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足，设，则的最小值为 

A. 48 B. 49 C. 50 D. 51

9. 如图所示，平面内有三个向量，，，与夹角为，与夹角为，且，，若，则     

A. 1 B.  C.  D. 6

10. 已知，，，则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一个基底的是   

A. ， B. ， C. ， D. ，

11. 如图，在直角梯形 ABCD 中，，，，E 为AD 的中点，若，则的值为

A.
B.
C. 2
D.

12. 正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则   

A.  B.  C. 2 D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则          ．
     

14. “勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题．如图，在矩形ABCD中，满足“勾3股4弦5”，且，E为AD上一点，若，则          ．
15. 如图，在扇形OAB中，，C为弧上的一个动点，若，则的取值范围是____．
    
     

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

16. 中，D为AC上的一点，满足若P为BD上的一点，满足，则mn的最大值为          ；的最小值为          ．
17. 已知向量，，，且，那么          ，          ．
18. 在中，M，N分别在AB，BC上，且，AN交CM于点P，若，则          ，          ．
19. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为          ，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

20. 如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，求的值．
    
    
     

21. 已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线．
    求实数的值；
    已知，，点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．

若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求的值；

若，，求的取值范围．






 

23. 如图，在正方形ABCD中，，E为BC的中点，点P是以AB为直径的圆弧上任一点设，
    
    求的最大值、最小值．
    求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知，是单位向量，且．

若非零向量满足，求的最大值；

若向量满足，求的取值范围．






 

25. 已知中是直角，，点D是CB的中点，E为AB上一点．
     

设，，当，请用，来表示，．

当时，求证：．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，属于中档题．
根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可． 

【解答】

解：作出图形，建立如图所示的坐标系，

设，因为，，故BD，
则，，，，
则，．
由题可知，
故，
所以，
故，
解得．
故选D．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理，向量的坐标运算，属基础题．
建立如图直角坐标系，则，，，设，联立解方程组，求出x，y得出结论．

【解答】

解：建立如图直角坐标系，则，，，

设，
则，
得，，
故，
故选C．

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，考查向量的模，考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
由已知求得，即可得到，即可求得．

【解答】

解：由已知向量，
又，
，
即，
，
，
故选A．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了向量的数量积应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
法一：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解即可．
法二：由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案．

【解答】

解：法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系如图所示，

则，设，则，故，．
，，解得，
．
故选D．

法二：连接EF


由题意，，
，
是BC的中点，
设，
则，
在中，，
即，
解得，．
故选D．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
首先建立平面坐标系，根据已知找出各个点的坐标，然后求出，，根据向量垂直得出方程求出参数，进而利用向量相等列出方程组即可求出结果．
【解答】
解：由题意建立如图所示直角坐标系．

因为，，则，，，
，，
设因为，
所以，解得，
由，
得
所以
解得
所以，
故选B．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的x与y的值．

【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；

矩形ABCD中，，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设，则，，，
，，，，
设，
则，
即，
解得，，
．
故选C．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于基础题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的x与y的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；

矩形ABCD中，，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设，则，，，
；
，，，
设，
则，
即，
解得，；
．
故选：C．  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的坐标运算和基本不等式的应用．
建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据条件得到的表达式，再利用基本不等式即可求得结果．
【解答】
解：如图，建立平面直角坐标系，

则，，，．
设，，
因为，所以，，．
因为，所以，．
所以
，
当且仅当，即，时取等号．
故选B．  

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算及向量基本定理的应用，属于中档题．
建立直角坐标系，利用向量的坐标运算、向量基本定理即可得到结果．

【解答】

解：如图所示，建立直角坐标系：

，．
，
，
，解得，．
．
故选C．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算，平面向量共线的充要条件，属于较易题．
根据基底定义知，如果两个向量共线便不能作为基底，逐项分析判断即可得解．
【解答】
解：，，，
，，与不共线；
，，与不共线；
，，与共线；
，，与不共线．
则不可以作为平面内所有向量的一个基底的是与．
故选C．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了向量坐标运算性质、向量基本定理、方程解法，考查了推理能与计算能力，属于基础题．
如图所示，建立直角坐标系，利用向量坐标运算性质、向量基本定理即可得出．
【解答】
解：如图所示，建立直角坐标系．

不妨设，则，，，
，．
，，，
，
，
，
解得，．
则．
故选：B．  

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了向量的坐标运算，平面向量的基本定理及应用，属于基础题．
根据已知条件建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出，即可求解．
【解答】
解：以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：

设正方形边长为1，则
，，．
，
，解得，
．
故选B．  

13.【答案】3
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的坐标运算、平面向量的基本定理、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题．
建立适当平面直角坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m，n的方程组，求得m，n的值，即得．

【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，

由与的夹角为，且，
，，，
，
，
．
，
，，
解得，，
则．
故答案为：3．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的基本定理，平面向量垂直的条件和向量运算，属于基础题．
建立合适的平面直角坐标系，得出各点坐标，根据垂直关系求得E点坐标，由可得关于，的方程组，解出即可求解答案．

【解答】

解：建立如图所示的平面直角坐标系，

因为，，所以，，，
，，设，
因为，所以，解得．
由，可得
解得，所以．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平面向量的基本定理及其应用，三角函数的值域，属于中档题．
建立平面直角坐标系，进行求解即可．
【解答】
解：设扇形OAB的半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，如图，

其中；；
设，则，
由，得；
整理得：；，
解得，，
则，
由，
得，
所以，
所以的取值范围是．
故答案为：．  

16.【答案】

16

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的加减运算及利用基本不等式求最值，同时考查平面向量共线的条件，属于中档题．
由已知结合平面向量的加减运算得m，n的关系，然后利用基本不等式求解即可，注意乘的应用．

【解答】解：由已知，
又，
所以，
因为B，P，D三点共线，不共线，
所以存在，使得，
即
得，
又，，
所以，当即时，取等号，
解得，
 ，
当即时，取等号，
即mn的最大值为，的最小值为16．
故答案为．  

17.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力
根据平面向量坐标的运算可得关于m、n的方程组，解方程组即可得到m，n的值．

【解答】

解：向量，，，

，

，

，
，

解得，

故答案为 1；．

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的基本定理以及向量的线性运算，平面向量共线定理，属于中档题．

方法一：以，为该平面的基底，利用向量运算法则得，则，再利用三点共线，三点共线，即可得到结论．
方法二：特殊化处理，建平面直角坐标系，设点，则，根据坐标运算即可得到答案．
【解答】
法一：平面向量基本定理

解：以，为该平面的基底，

则，

所以，
由得到，由得到，
所以

因为三点共线，且三点共线，

所以

法二：特殊化处理

解：如图，设点，

则，

即有：

由

得：．

故答案为：，．

19.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
以B为原点，以BC为x轴建立直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．

【解答】

解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，

，，
，
，
，
，
，
设，
，，
，解得，
，
，，
，
，
，
设，则，其中，
，，
，当时取得最小值，最小值为，
故答案为：； ．

20.【答案】解：以点O为原点，BC所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，

设，，，，，
因为，，
所以，，
所以，，，，
所以，，，，
因为M，O，N三点共线，
所以，
所以，
化简得．
 

【解析】本题考查的是平面向量的坐标运算，平面向量基本定理，属于中档题．
以点O为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系，设，，，，，由M，O，N三点共线，可得，再由，列出关于m，n，a，b的式子，进而可得出的值．
 

21.【答案】解：

．
，E，C三点共线，
存在实数k，使得，
即，
得．
，是平面内两个不共线的非零向量，
，解得，．

．
，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
．
设，则，
，
，解得
即点A的坐标为．
 

【解析】本题考查了向量共线和向量的坐标运算，本题属于中档题．
可以利用三点共线，得到向量的线性关系，解出的值，即可得到结果；
由已知条件得到的坐标，再由，得到A点的坐标，即可得到结果．
 

22.【答案】解：由题意知，
因为E是BC边的中点，点F是CD上靠近C的三等分点，
所以，
在矩形ABCD中，，
所以，
即，，
则．
以AB、AD分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示：

设，其中
则：，，
所以，其中
当时取得最小值为，
或时取得最大值为2，
所以的取值范围是．
 

【解析】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
由题意用、表示出，求出、的值，求和即可．
建立平面直角坐标系，用坐标表示、，计算的取值范围即可．
 

23.【答案】解：取AB中点O，以O点为原点，以AB所在直线为x轴，
如图建立平面直角坐标系，

设，结合题意，可知：

，
所以

又，

所以，

即
从而可以求得，
，，
当时， ，

当时， ．

其中为锐角
因为， 
所以，
所以，
所以，
．

【解析】本题考查平面向量的线性运算及三角函数问题，属于中档题．
建立平面直角坐标系，得出各点坐标；
由三角函数的图象及性质求解
由三角函数的图象及性质求解．
 

24.【答案】解：因为，
所以


，其中为向量与的夹角，
所以．
又，，
所以，
所以的最大值为．
方法一：由，得．
又，且，
不妨令，，，则．
又，
故根据几何关系可知，，
所以的取值范围是．
方法二：  令，，，，
则．
又，
所以点C在以点D为圆心，半径为1的圆上，
如图所示，易知当点O，C，D共线时，取得最值，最大值为，
最小值为，
所以的取值范围是．

 

【解析】本题考查平面向量的数量积运算及平面向量的模的计算，涉及平面向量基本定理及平面向量的坐标运算及余弦函数的性质的应用，考查计算能力，属于中档题目．
由及可得，利用余弦函数的性质得出的最大值；
方法一：由，得又，且，设出根据几何关系得出的取值范围；
方法二：利用基底法及，根据点C在以点D为圆心，半径为1的圆上，易知当点O，C，D共线时，取得最值．
 

25.【答案】解：，，点D是CB的中点，

，

，

．

以C点为坐标原点，以CB，CA为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，

设，点坐标为，另设点E坐标为，
点D是CB的中点，

点D坐标为，

又，，，，

所以，，

所以，

．

【解析】本题重点考查平面向量的分解和数量积与垂直，属于一般题．
利用平面向量基本定理和线性运算即可求解；
建立平面直角坐标系，通过求证即可．