苏教版 (2019)必修 第二册9.1 向量概念习题

9.1向量概念同步练习苏教版（ 2019）苏教版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 下列结论中正确的为     

A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B. 向量与向量的长度相等
C. 对任意向量，是一个单位向量
D. 零向量没有方向

2. 设O是等边三角形ABC的中心，则向量，，是    

A. 有相同起点的向量 B. 模相等的向量
C. 平行向量 D. 相等向量

3. 有关向量和向量，下列四个说法中：
   若，则；
   若，则或；
   若，则；
   若，则．
   其中的正确有     

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 下列命题中正确的是   

A. 若与是共线向量，则四点共线；
B. 若，，则；
C. 不相等的两个向量一定不平行；
D. 两个相等向量的模相等．

5. 下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是

长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

平行且模相等的两个向量是相等向量；

若，则；

两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6. 给出以下命题：若，则向量必与或方向相同若非零向量，，满足，则以，和为长度的三条线段必能构成三角形向量，满足其中正确的个数为

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. 下列说法正确的是    

A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则与不是共线向量

8. 三个不共线的向量，，满足，则O点是的     

A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心

9. 下列说法正确的是

若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点一定不在同一直线上

若向量与平行，且，则或

向量的长度与向量的长度相等

单位向量都相等．

A.  B.  C.  D.

10. 给出下列六个命题：

两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

若，则；

若，则四边形ABCD是平行四边形；

平行四边形ABCD中，一定有；

若，，则；

若，，则．

其中不正确的命题的个数为     

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

11. 有下列说法：

若向量与向量不平行，则与方向一定不相同；

若向量，满足，且与同向，则；

若，则，的长度相等且方向相同或相反；

由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．

其中正确说法的个数是   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

12. 下列说法：
    若两个平面向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；

若向量，满足，且与同向，则；

若两个非零向量与满足，则，为相反向量；

的充要条件是A与C重合，B与D重合．

其中错误的个数为   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 给出下列六个命题：

两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

若，则；

若，则四边形ABCD是平行四边形；

平行四边形ABCD中，一定有；

若，，则；

若，，．

其中不正确的命题序号是          ．

14. 给出下列命题：
    若，同向，则有；与表示的意义相同；
    若，不共线，则有；恒成立；
    对任意两个向量，，总有；若三向量，，满足，则此三向量围成一个三角形．
    其中正确的命题是          填序号
15. 给出下列各命题：

零向量没有方向若，则

单位向量都相等两相等向量若其起点相同，则终点也相同

若，，则

若四边形ABCD是平行四边形，则，

其中正确命题的序号是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 如图，已知网格小正方形的边长为1，点P是阴影区域内的一个动点包括边界，O，A在格点上，则的最小值是          ；最大值是          ．
     

17. 已知向量，满足，，则的最小值是          ，最大值是          ．
18. 已知向量，，则          ，与方向相反的单位向量          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

19. 如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且．

画出所有的向量；

求的最大值与最小值．






 

20. 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2千米才到达B地．

在图中作出，，，；

求B地相对于A地的位置．






 

21. 在中，点E，F是所在平面内的两点，，，，，．

以，为基底表示向量，并求；

为直线EF上的一点，设y是实数，若直线CD经过的垂心，求x，y的值．






 

22. 在平面直角坐标平面内，已知．

若，求证：为直角三角形；

求实数t的值，使最小；

若存在实数，使，求实数、t的值．






 

23. 已知平面内三个向量：，，，
    Ⅰ若，求实数k的值；
    Ⅱ设，且满足，，求．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知向量，，，．
    求的最小值；
    若与共线，求t的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的相关概念，属于基础题．
根据向量的概念判断各个选项．

【解答】解：A选项，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A不正确
B选项，向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，故B正确
C选项，当时，无意义，故C不正确
D选项，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D不正确．
故选B．  

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的模，以及平面向量基本概念，属基础题．
易知O是等边三角形ABC外接圆的圆心，从而为外接圆的半径，由此可得结论．

【解答】

解：因为O是等边三角形的中心，
所以O是等边三角形ABC外接圆的圆心，
所以为外接圆的半径，
所以向量是模相等的向量，
故选B．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的概念，向量相等的概念，属于基础题．
根据向量的概念对各选项逐项进行分析、判断即可．

【解答】

解：若，则，故正确；
若，则或是错误的，因为向量方向可任意，故错误；
若，则向量的长度不一定相等，故错误；
若，则，故正确．
故正确的有，共2个．
故选B ．

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟练地掌握向量共线的概念，向量相等与单位向量等知识，属于基础题．
由题逐一求证即可求解．

【解答】A中，与是共线时，A，B，C，D四点不一定共线，判定A错误，
B中，，中，若，则不成立，B错误，
C中，零向量的方向不确定，因此人们规定它可以与任何向量平行，则C错误，
D中，两个相等向量的模是一定相等的，D正确．
故选D．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的概念、相等向量、向量的模，属于基础题．
根据向量相等概念，向量的模对选项逐一判断．

【解答】

解：根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，正确；
平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，不正确；
当时，也有，不正确；
只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，不正确．
综上可知只有正确，
故选B．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题考查平面向量的概念及几何表示，考查共线向量、相等向量及向量的模，属于基础题．
利用平面向量的概念及几何表示，共线向量、相等向量、向量的模的相关知识逐一判断即可，注意零向量的应用．
【解答】解：当，长度相等、方向相反时，，方向任意，错误
当，，共线时，结论不成立，错误
当，同向或至少有一个为时取等号，其他情形，故正确．
故选B．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查向量的相关概念，向量不能比较大小，向量共线不一定相等，不相等也可能共线属于基础题．
根据向量的相关概念对选项进行判断即可．
【解答】
解：向量不能比较大小，故A错
向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错
不相等的向量也可能是共线向量，故D错
C显然正确．
故选C．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了向量在几何中的应用，考查的重点是向量加法的几何意义和向量数量积的性质，属于中档题．
是单位向量，且由向量为邻边构成的四边形是菱形，得到OA在的平分线上，即可得出结论．
【解答】
解：向量的模等于1，
因而向量是单位向量，
向量等都是单位向量，
由向量为邻边构成的四边形是菱形，
，
可得OA在的平分线上，
同理可得OB平分，OC平分，
是的内心．
故选C．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查向量的相关概念：共线向量，向量的模，单位向量等，属于基础题．
向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的两个向量平行且模相等时，向量只能相等或相反单位向量模相等，方向不一定相同．
【解答】
解：对于，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故错．

对于，，、都是非零向量，，与方向相同或相反，或．
对于，向量与向量方向相反，但长度相等．

对于，单位向量除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同，错误．
故选D．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量相等的意义、共线向量，属于基础题．
利用向量相等即可判断出；
若，则不一定成立；
利用向量相等与平行四边形的定义即可得出；
利用平行四边形的性质与向量相等即可得出；
利用向量相等的定义即可判断出；
， ，则，取时，与不一定共线．

【解答】

解：两个向量相等，则它们的起点和终点不一定相同，故错误；
若，方向不同，则不一定成立；
若，则四边形ABCD是平行四边形，正确；
平行四边形ABCD中，一定有，正确；
若，，则，正确；
， ，则，取时，与不一定共线，错误．
其中不正确的命题的个数为3．
故选：B．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的概念与简单性质，属于基础题．
根据平面向量的有关定义进行分析判断和；根据向量不能比较大小，可判断；根据相等向量和相反向量的定义，可判断．

【解答】

解：若向量与向量不平行，则与的方向一定不相同，故正确；
向量不能比较大小，故错误；
若，则的长度相等而方向不存在确定关系，故错误；
零向量与任意向量都是共线的，即零向量与任意向量平行，故错误．
故选A．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是空间向量共面，向量的概念，共线、相反、相等向量的概念 ，向量共线定理，属于基础题．
根据空间向量与平面向量的有关概念逐项判断即可．
【解答】
解：错误两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．
错误向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
正确 ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量．
错误由知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合．
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的基本概念及平行的条件，属基础题．
根据题意逐项判断即可．

【解答】

解： 对于，若两个向量相等，则它们的模，方向相同，与起点终点无关，所以错误

对于，向量模相等，但向量不一定相等，所以错误

对于， 若A、B、C、D四点共线，则不能构成平行四边形，所以错误

对于， 在平行四边形ABCD中，AB与DC平行且相等，所以，即正确

对于， 根据向量相等的定义正确

对于，若，则不一定平行，所以错误．

所以不正确的有．

故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查共线向量、向量的模的概念，考查向量的加法，属于基础题．
根据向量的模、共线向量的基本概念以及向量加法的法则，逐一分析即可．

【解答】

解：对于，若，同向，则同向，所以，故正确；
对于，与前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故不正确；
对于，若，不共线，则有，故不正确；
对于，若，则，故不正确；
对于，对任意两个向量，，总有，故正确；
对于，若三向量，，满足，若，，中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故不正确．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的基本概念，属于基础题．
解题时注意运用向量既有大小，又有方向，逐一判断即可．

【解答】

解：该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不确定，是任意的
该命题不正确，只是说明这两个向量的模相等，但其方向未必相同
该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没有要求
该命题正确，因为两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合
该命题不正确．当时，则对两不共线的向量与，也有，，但与不一定共线
该命题不正确，应该是，．
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查向量的概念及几何表示，向量的模，向量的减法运算，属于基础题，由题意，，问题转化为求点A到阴影区域中的点距离的最值即可．
【解答】
解：由题意，，问题转化为求点A到阴影区域中的点距离的最值，
当点P在阴影正方形右下顶点时，取最小值为网格小正方形的对角线长；
当点P在阴影正方形左上顶点时，取最大值为网格小正方形的对角线长的2倍，即．
故答案为；．  

17.【答案】4

【解析】解：设，，
记，则，如图，

由余弦定理可得：
，
，
令，，
则、，其图象为一段圆弧MN，如图，

令，则，
则直线过M、N时，z最小，，
当直线与圆弧MN相切时，z最大，
由平面几何知识易知即为原点到切线的距离的倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，
所以．
综上所述，的最小值是4，最大值是．
故答案为：4；．
根据题意，可知，，转化为线性规划问题，计算即得结果．
本题考查向量的模，余弦定理，线性规划等基础知识，考查数形结合能力，考查运算求解能力，属于较难题．
 

18.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查平面向量加法的坐标运算，考查平面向量的模，考查相反向量，单位向量等知识，属于基础题．
先求得的坐标，然后求它的模用求得的坐标．
【解答】
解：依题意可得：，
故．
与方向相反的单位向量为
故答案为  ；     ．  

19.【答案】 解： 画出所有的向量，如图所示．

由所画的图知，当点C位于点和时，取得最小值；
当点C位于点和时，取得最大值．
的最大值为，最小值为．
 

【解析】本题考查向量的概念，向量模的求法，属中档题．
画出满足的所有向量即可．
当点C位于点和时取得最小值，当点C位于点和时取得最大值，求解即可．
 

20.【答案】解：向量，，，，如图所示：

由题意知，
所以ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，
所以，
则B地相对于A地的位移为“在北偏东的方向距A地6千米”．
 

【解析】本题考查向量的概念及几何表示、向量相等的概念，属于基础题．
根据题意直接画图即可；
由题意知，所以ADBC，则四边形ABCD为平行四边形，得出，即可求出结果．
 

21.【答案】解：
，






．
设，则，
由，


得，则．
 

【解析】本题考查向量的加减法及数乘运算，属于中档题．
由题意，再利用得出结论；
设，则，由得出的值．
 

22.【答案】证明：当时，，
则，
，
，
为直角三角形．
解：，
，
当时，的最小值为2，
解：由，
得：，
所以，
解得．
 

【解析】本题考查利用向量垂直证明三角形是直角三角形，考查向量的模取最小值时对应的实数值的求法，及向量的数乘及相等向量，涉及到平面向量坐标运算法则、向量垂直、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
当时，，求出，由，能证明为直角三角形；
求出，从而，由此能求出结果；
由，列出方程组，能求出实数、t的值．
 

23.【答案】解：Ⅰ，，，，
，，
，
，
解得或，
实数k的值为0或．
Ⅱ，，，
，，

解得，或，，
或．
 

【解析】Ⅰ利用平面向量坐标运算法则先求出，，再由，能求出实数k的值．
Ⅱ利用平面向量坐标运算法则先求出，，再由，，能求出．
本题考查实数值的求法，考查向量的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

24.【答案】解：，，
，
，
当时，的最小值为，
，，与共线，  
，
．
 

【解析】用t表示，结合二次函数的性质求解．
利用向量共线的充要条件计算．
本题考查了向量的模的计算，向量共线的应用，属于中档题．