高中数学第9章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示练习题

课后素养落实(九)　向量平行的坐标表示

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝(　　)

A．(－4，－8)   B．(－8，－16)

C．(4，8)   D．(8，16)

A　[∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，

∴b＝(－2，－4)，

∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)

＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．]

2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x，2)共线，且方向相同，则实数x＝(　　)

A．1  B．  C．  D．

C　[设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx，2λ)，所以有解得或

又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝．]

3．已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥，则x＋2y的值为(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

B　[∵＝＋＋＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)

＝(x＋4，y－2)，

∴＝－＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．

∵∥，

∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0．]

4．已知点A(1，3)，B(－2，7)，则与向量方向相反的单位向量是(　　)

A．　   B．

C．　   D．

D　[∵A(1，3)，B(－2，7)，∴＝(－3，4)，则＝＝5，

因此，与向量方向相反的单位向量是

－＝－(－3，4)＝．故选D．]

5．若a＝(2cos α，1)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则tan α＝(　　)

A．1  B．  C．2  D．

C　[∵a∥b，∴2cos α＝sin α，∴tan α＝2．]

二、填空题

6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3，1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．

　[设B(x，y)，则由题意可知

∴∴＝(4，6)．

又∥a，∴4λ＝6，∴λ＝．]

7．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．

m≠　[若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，

即与不共线．

∵＝－＝(3，1)，

＝－＝(2－m，1－m)，

∴3(1－m)≠2－m，即m≠．]

8．已知两点M(7，8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．

　[设P(x，y)，如图，

∴＝3，

∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，

∴解得]

三、解答题

9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．

(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？

(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．

[解]　(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，

a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．

∵ka－b与a＋2b共线，

∴2(k－2)－(－1)×5＝0，

即2k－4＋5＝0，得k＝－．

(2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，λ∈R，

即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴

解得m＝．

10．已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，k)．

(1)若a∥b，求的值；

(2)若a⊥(a＋2b)，求实数k的值；

(3)若a与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围．

[解]　(1)因为向量a＝，b＝，且a∥b，

所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，

所以＝＝3．

(2)因为a＋2b＝，且a⊥，

所以1×＋2×＝0，解得k＝．

(3)因为a与b的夹角是钝角，则a·b＜0且a与b不共线．

即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．

11．已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，则下列叙述中正确的是(　　)

A．存在实数x，使a∥b

B．存在实数x，使(a＋b)∥a

C．存在实数x，m，使(ma＋b)∥a

D．存在实数x，m，使(ma＋b)∥b

D　[只有D正确，可令m＝0，则ma＋b＝b，无论x为何值，都有b∥b．]

12． (多选题)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　)

A．－2  B．  C．1  D．－1

ABD　[各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形，故选ABD．]

13．设a＝(6，3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．

[－1，＋∞)　[∵a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x，∴a＝(x－1)2－1≥－1．]

14．已知A(0，5)，B(－1，0)，C(3，4)，D是BC上一点且△ACD的面积是△ABC面积的，则△ABC的重心G的坐标是________，D的坐标是________．

　(2，3)　[△ABC的重心G的坐标为，即．由题意得＝3．设D(x，y)， 则＝(x＋1，y)，＝(3－x，4－y)，所以x＋1＝3(3－x)，y＝3(4－y)，解得x＝2，y＝3，即D(2，3)．]

15．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(－2，10)，C(3，7)，∠BAC的平分线交BC边于点D，求点D的坐标．

[解]　∵AD平分∠BAC，|AC|＝＝2，|AB|＝＝3，

由角平分线定理可知，

点D分有向线段所成的比λ＝．

设点D的坐标为(x，y)，

则x＝＝1，y＝＝．

故点D的坐标为．