高中数学苏教版 (2019)必修 第二册第9章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示第2课时练习题

第2课时　向量数量积的坐标表示

1．平面向量数量积的坐标表示

2.平面向量数量积的坐标表示的结论

1．已知平面向量＝，＝，则向量的模是(　　)

A．    B．    C．2    D．5

【解析】选C.因为向量＝，＝，

所以 ＝－＝－＝，

所以＝2.

2．已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，x)，若a∥b，则|b|＝(　　)

A．    B．    C．    D．5

【解析】选C.因为向量a＝(1，2)，b＝(－1，x)，a∥b，所以＝，解得x＝－2，所以|b|＝＝.

3．已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝______．

【解析】因为向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，a⊥b，所以a·b＝0，即－4×6＋3m＝0，m＝8.

答案：8

4．在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的对角线OB的两端点坐标分别为O(0，0)，B(1，1)，则·＝________．

【解析】在正方形OABC中，A(0，1)，C(1，0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，

则＝(1，0)，＝(1，－1)，从而·＝(1，0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.

答案：1

5．已知a＝(－1，2)，b＝(－3，1)，c＝(4，3).

求a·b，(a＋b)·(a－b), (a＋c)·b，(a－b)2.

【解析】因为a＝(－1，2)，b＝(－3，1)，c＝(4，3)，

所以a＋b＝(－4，3)，a－b＝(2，1)，a＋c＝(3，5)，

所以a·b＝(－1，2) ·(－3，1)＝3＋2＝5，

(a＋b)·(a－b) ＝(－4，3)·(2，1)＝－8＋3＝－5，

(a＋c)·b＝(3，5)·(－3，1)＝－9＋5＝－4，

(a－b)2＝22＋12＝5.

一、单选题

1．已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【解析】选D.因为a＋b与a共线，

所以a＋b＝λa，即(1＋2，k＋2)＝λ(1，k).

由解得

故a＝(1，1)，则a·b＝1×2＋1×2＝4.

2．(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝(　　)

A．    B．2    C．5    D．50

【解析】选A.由向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，可得a－b＝(－1，1)，所以|a－b|＝＝.

3．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)

A．    B．－    C．    D．－

【解析】选C.设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，所以解得故b＝(－5，12)，

所以cos 〈a，b〉＝＝.

4．已知向量a＝(m，2)，b＝(1，1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数m＝(　　)

A．2    B．－2    C．    D．－

【解析】选A.a＋b＝(m＋1，3)，|a＋b|＝，则＝＋，两式平方得到m＋2＝·，再平方得到m2－4m＋4＝0.解得m＝2.

5．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)

A．      B．

C．－     D．－

【解析】选A.＝(2，1)，＝(5，5)，由定义知在方向上的投影为||cos θ＝＝＝.

二、填空题

6．在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________．

【解析】设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1，2).又＝(1，2)，所以·＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3.

答案：3

7．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影数量为________；a在b方向上的投影数量为________．

【解析】b在a方向上的投影数量为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.同理，a在b方向上的投影数量为|a|cos θ＝－.

答案：－2　－

8．在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则·的值为________．

【解析】设向量，的夹角为θ，

则·＝||||·cos θ＝||cos θ·||＝||·||＝×()2＝1.

答案：1

9．若a＝(2，3)，b＝(－1，－2)，c＝(2，1)，则(a·b)·c＝________；a·(b·c)＝________．

【解析】因为a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，

所以(a·b)·c＝－8×(2，1)＝(－16，－8).

因为b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，

所以a·(b·c)＝(2，3)×(－4)＝(－8，－12).

答案：(－16，－8)　(－8，－12)

三、解答题

10．在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，求：

(1)2＋的模；(2)cos ∠BAC.

【解析】(1)如图，＝(－1，1)，＝(1，5)，

故2＋＝(－2，2)＋(1，5)＝(－1，7)，

故|2＋|＝＝5；

(2)cos ∠BAC＝＝

＝ ＝.

11．已知向量a＝(3，5)，b＝(－2，1).

(1)求a－2b的坐标及模；

(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.

【解析】(1)a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)，

|a－2b|＝＝.

(2)a·b＝(3，5)·(－2，1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，

所以c＝a－(a·b)b＝(3，5)＋(－2，1)＝(1，6)，

所以|c|＝＝.

一、选择题

1．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)

A．(－2，6)    B．(－6，2)    C．(－2，4)    D．(－4，6)

【解析】选A.设P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(2，0)，＝(x，y)，＝(2，0)，所以·＝2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1，所以－1<x<3，所以－2<·<6.

2．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形    B．锐角三角形

C．钝角三角形    D．等边三角形

【解析】选A.由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，

即⊥.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．

3．设向量a＝(3，－4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)

A．(－6，8)      B．(6，8)

C．(－6，－8)     D．(8，－6)

【解析】选A.向量a＝(3，－4)，向量b与向量a方向相反，设b＝(3x，－4x)，x＜0，则|b|＝＝－5x＝10，解得x＝－2，所以向量b的坐标为

(－6，8).

4．(多选)设向量a＝，b＝，则下列叙述错误的是(　　)

A．若k＜－2，则a与b的夹角为钝角

B．的最小值为2

C．与b共线的单位向量只有一个为

D．若＝2，则k＝2或－2

【解析】选CD.对于选项A，若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0且a与b不共线，则k－2＜0且－k≠2，解得k＜2且k≠－2，故选项A正确，不符合题意；对于选项B，＝≥2，当且仅当k＝0时，等号成立，故选项B正确，不符合题意；对于选项C，＝，与b共线的单位向量为±，即与b共线的单位向量为或，故选项C错误，符合题意；对于选项D，＝2＝2，即＝2，解得k＝±2，故选项D错误，符合题意．

二、填空题

5．设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝，若两个向量a＋b与a－b的模相等，则角α＝__________．

【解析】|a|＝1，|b|＝1，由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，所以－cos α＋sin α＝0，所以tan α＝.又0≤α<2π，所以α＝或α＝.

答案：或

6．已知点A(2，3)，若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得到向量，则点B的坐标为________．

【解析】设B(x，y)(x<0)，则⊥，且||＝||.

所以解得所以B(－3，2).

答案： (－3，2)

7．已知向量a＝(λ，2)，b＝(－1，1)，若＝，则λ的值为________；此时a·b＝________．

【解析】结合条件可知，2＝2 ，得到a·b＝0，代入坐标，得到λ×＋2＝0，解得 λ＝2.

答案：2　0

三、解答题

8．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为钝角，求实数λ的取值范围．

【解析】因为a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，所以|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.因为a，b的夹角θ为钝角，

所以即

所以λ<1且λ≠－1.

所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).

9．已知在△ABC中，A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，BC边上的高为AD.

(1)求证：AB⊥AC；

(2)求向量；

(3)求证：AD2＝BD·CD.

【解析】(1)因为＝(－1，－2)－(2，4)＝(－3，－6)，＝(4，3)－(2，4)＝(2，－1)，

·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，所以AB⊥AC.

(2)＝(4，3)－(－1，－2)＝(5，5).

设＝λ＝(5λ，5λ)，

则＝＋＝(－3，－6)＋(5λ＋5λ)＝(5λ－3，5λ－6)，由AD⊥BC得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，

解得λ＝，所以＝.

(3)||2＝＋＝，||＝＝，||＝5，||＝||－||＝.

所以||2＝||·||，即AD2＝BD·CD.