数学必修 第二册第9章 平面向量9.3 向量基本定理及坐标表示第1课时复习练习题

第1课时　向量坐标表示及线性运算坐标表示

【概念认知】

1．平面向量的坐标表示

2.向量线性运算的坐标表示

3.向量坐标与点的坐标的联系

(1)条件：O(0，0)，A(x1，y1) ，B(x2，y2)，

(2)结论：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)．

(3)语言表述：

①以原点为起点的向量的坐标等于其终点坐标；

②一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

【自我小测】

1．设点A(1，2)，B(3，5)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移后得到为(　　)

A．(1，2)      B．(2，3)      C．(3，4)       D．(4，7)

【解析】选B.因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3)，将向量按向量a＝(－1，－1)平移得到，知与的方向相同，大小也相等，只是位置不同，于是＝＝(2，3).

2．在平面直角坐标系内，设与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若a＝2i－j，则此向量用坐标表示a＝________.

【解析】由于i，j是两个互相垂直的单位向量，所以a＝(2，－1).

答案：(2，－1)

3．(2021·潍坊高一检测)在平面直角坐标系中，点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴，y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号).

①＝2i＋3j；

②＝3i＋4j；

③＝－5i＋j；

④＝5i－j.

【解析】i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故①③④正确．

答案：①③④

4．在下列各题中，已知向量a，b的坐标，分别求b＋a，b－a的坐标：

(1)a＝(3，5)，b＝(－2，1)；

(2)a＝(1，－6)，b＝(－6，5).

【解析】(1)b＋a＝(－2，1)＋(3，5)＝(－2＋3，1＋5)＝(1，6).b－a＝(－2，1)－(3，5)＝(－2－3，1－5)＝(－5，－4).

(2)b＋a＝(－6，5)＋(1，－6)＝(－6＋1，5－6)＝(－5, －1).b－a＝(－6，5)－(1，－6)＝(－6－1，5－(－6))＝(－7，11).

【基础全面练】

一、单选题

1．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，则a＝(　　)

A．(－3，4)        B．(5，－12)

C．(1，－4)        D．(－4，8)

【解析】选A.联立

①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8，16)＝(－6，8)，

所以a＝(－3，4).

2．已知A(1，1)，B(－2，2)，O是坐标原点，则＋＝(　　)

A．(－1，3)        B．(3，－1)

C．(1，1)         D．(－2，2)

【解析】选D.因为B(－2，2)，O是坐标原点；

所以＋＝＝(－2，2).

3．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2，4)，＝(1，3)，则＝(　　)

A．(2，4)       B．(3，5)

C．(1，1)       D．(－1，－1)

【解析】选C.＝－＝－＝－(－)＝(1，1).

二、填空题

4．如图，正方形ABCD中，O为中心，且＝(1，1)，试用基底向量i，j表示下列向量：

＝________，＝________，＝________，＝________．

【解析】如题图所示，＝(1，1)＝i＋j，

所以＝i，＝j.

所以＝－＝－i，＝＝j，＝－＝－j.

所以＝＋＝－i＋j；＝＋＝－i－j；＝－＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.

同理，＝－＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，＝＋＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.

答案：－i＋j　－i－j　－2i　－2i－2j

5．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为________．

【解析】方法一：由题意知，四边形ABCD是平行四边形，所以＝，设D(x，y)，则(6，8)－(－2，0)＝(8，6)－(x，y)，所以x＝0，y＝－2，即D(0，－2).

方法二：由题意知，四边形ABCD为平行四边形，

所以＝，即－＝－，

所以＝＋－＝(－2，0)＋(8，6)－(6，8)＝(0，－2)，

即D点的坐标为(0，－2).

答案：(0，－2)

三、解答题

6.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．

【解析】正三角形ABC的边长为2，

则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，

所以C(1，)，D，

所以＝(2，0)，＝(1，)，

＝(1－2，－0)＝(－1，)，

＝＝.

【加固训练】

 如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标．

【解析】由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2).

【综合突破练】

一、选择题

1．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，则向量的坐标是(　　)

A．(2，2)        B．(3，－1)

C．(－3，1)       D．(4，2)

【解析】选B.因为平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(－2，1)，(－1，3)，(3，4)，

所以＝(－2，1)－(－1，3)＝(－1，－2)，

＝＝(3，4)－(－1，3)＝(4，1).

所以＝＋＝(－1，－2)＋(4，1)

＝(3，－1).

2．已知M(2，－1)，N(0，5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为(　　)

A．(－2，11)       B．

C．        D．(－2，12)

【解析】选A.因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，所以＝2，

则－＝2(－)，

所以＝2－＝2(0，5)－(2，－1)，

即＝(－2，11).

3．(多选)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任意一向量a，下列结论中正确的是(　　)

A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)

B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2

C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O

D．若x，y∈R，a的起点坐标是(1，1)，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x－1，y－1)

【解析】选AD.由平面向量基本定理知A正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；根据向量坐标的计算方法可知D正确．

二、填空题

4．已知点A(－1，－1)，B(1，3)，C(x，5)，若对于平面上任意一点O，都有＝λ＋(1－λ) ，λ∈R，则x＝________；若D(0，y)，且＝，则x，y的值分别为________．

【解析】取O(0，0)，由＝λ＋(1－λ) 得，(x，5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1，3)，

所以

解得

＝(2，4)，＝(－x，y－5)，

因为＝，

所以，所以x＝－2，y＝9.

答案：2　－2，9

5．已知与x轴，y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，若＝－4i＋3j，＝i－6j，O为坐标原点，向量与互为相反向量，则点M的坐标为________．

【解析】因为＝－4i＋3j，＝i－6j，

所以＝，＝，

所以＝＋＝＋＝，

又因为向量与互为相反向量，

所以＝－＝，

所以点M的坐标为.

答案：

三、解答题

6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，

(1)若＝＋，求点P的坐标；

(2)若＋＋＝0，求的坐标．

【解析】(1)因为＝(1，2)，＝(2，1)，

所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，

即点P的坐标为(3，3).

(2)设点P的坐标为(x，y)，

因为＋＋＝0，

又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y).

所以解得

所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2).