苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示精品练习
展开第05讲 向量基本定理及坐标表示
课程标准 | 课标解读 |
①理解平面向量基本定理及其意义。 ②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。 ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。 ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 | 1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义，会用这组基底来表示其他向量； 2.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； 3.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示； 4.掌握两个向量加、减运算、数乘运算的坐标表示； 5.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 6.掌握平面向量数量积的坐标表示，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。
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知识点01 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ .
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 .
3.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作 .
【即学即练1】在四边形中，，若，且，则（ ）
A． B．3 C． D．2
知识点02 平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为 .对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一 ，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的 ，记作a＝ .
2.在直角坐标平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ .
【即学即练2】已知点、，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
知识点03 平面向量的坐标运算
1.平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
（1）向量加法：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和，即：a＋b＝ 。
（2）向量减法：两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差，即：a－b＝ 。
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝ ，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标.
2.平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝ ，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当 时，向量a，b(b≠0)共线.
4.平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝ .
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ .
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝ ，|a|＝ .
(2)a⊥b⇔ .
(3)cos θ＝＝ .
【即学即练3】已知三点在同一直线上，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．不确定
考法01 数量积的坐标表示
【典例1】在平行四边形中，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考法02 向量夹角的坐标表示
【典例2】已知向量，，则点A到的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
题组A 基础过关练
1．已知正方形的边长为2，点满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
2．已知向量，，则（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知点，向量，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，则与的夹角为______.
6．已知，，则的值为 __．
7．已知，且，则实数___________.
8．已知向量，．
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角．
题组B 能力提升练
1．已知向量，，若，则的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．设向量，若表示向量的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，.若不超过5，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（多选）设向量，平面内任一向量都可唯一表示为（），则实数的可能取值是（ ）
A．2 B．3 C．1 D．0
5．已知向量，且，则_____.
6．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________．
7．已知，若满足且，则___________.
8．已知向量，，，．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
题组C 培优拔尖练
1．已知，是单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．向量，且向量与向量方向相同，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．设x，，向量，，，且，，则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
4．（多选）已知向量，，，，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．的最小值为
5．在平面直角坐标系xOy中，给定，，假设O，A，B不在同一直线上，利用向量的数量积可以方便的求出的面积为．已知三点，，，则面积的最大值为______．
6．已知点，，是函数，图象上的动点，若，则的最大值为______.
7．已知向量．
(1)求；
(2)求满足的实数m和n的值；
(3)若，求实数k的值．
8．已知向量,.
(1)当时,求；
(2)当，，求向量与的夹角.
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