苏教版 (2019)必修 第二册第10章 三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数同步练习题

10.1两角和与差的三角函数同步练习苏教版（  2019)高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知，则

A.  B.  C.  D.

A.   B.  C.  D.

3. 在中，若，则的形状一定是       

A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不含角的等腰三角形

4. 已知点是角终边上一点，则等于

A.  B.  C.  D.

A.  B.  C.  D.

6. 若，且，，则 

A.  B.  C.  D.

7. 已知，则的值为     

A.  B.  C.  D.

8. 已知，是方程的两根，且，，则   

A.  B.  C.  D. 或

A.  B.  C.  D.

10. 在中，若，则的形状为      

A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

11. 的值等于     

A. 0 B.  C.  D.

A.  B.  C.  D. 1

二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 若则          ．
14. 已知A、B、C为的三内角，且角A为锐角，若，则的最小值为          ．
15. 已知，，则          ．
16.           ．
17. 已知，且，则的值为________．

三、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

18. 已知为第二象限角，且，则          ，          ．
19. 已知锐角满足，，则          ，          ．
20. 在中，，，，点D在线段AC上若，则       ，       ．
21. 已知，则          ，          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

22. 是否存在锐角，使，同时成立？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点

求的值；

若角满足，求的值．






 

24. 已知，．
    求的值；
    若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 化简下列各式：

；

．






 

26. 已知，，．
    求的最小正周期及单调递减区间；
    求函数在区间上的最大值和最小值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点是三角恒等变换，同角三角函数关系式，主要考查学生的运算能力和转化能力，
直接利用同角三角函数关系式求出，，再由，运用两角和的余弦函数公式求出结果．

【解答】

解：已知：，
所以：，故：，
，所以：，
则：



故选D．

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查诱导公式和简单的三角恒等变换．
根据诱导公式、同角的三角函数公式、两角差的余弦公式化简求值即可．

【解答】

解： 





，
故选C．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角形形状的判断，熟悉两角和差公式是解答本题的关键，属于中档题．
利用三角形的内角和，结合两角和差的正弦公式，即可得出结论．

【解答】

解：，
，
，，
，，三角形为直角三角形．

故选B．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查任意角的三角函数及两角差的三角函数公式，属于基础题．
由任意角的三角函数定义，求出，，然后利用两角差的余弦公式求解即可．

【解答】

解： 因为点是角终边上一点，

所以，

所以可得，

所以

．

故选A．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查利用三角函数诱导公式以及和角公式化简求值，属于基础题．
先利用诱导公式化简为，然后利用和角公式求解．

【解答】

解：

，
故选D．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属于中档题．
由同角三角函数的基本关系可得和，由结合两角和的正弦公式即可求得．

【解答】

解：，，且，
，，
，
，
，
，


．
故选B．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了正切的差角公式，属于基础题．
利用即可求解．

【解答】

解：由题意可知，，
故选C．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了两角和的正切，属于基础题．
根据韦达定理算出，，这样可以求出，再根据角的范围可以求出的值即可．

【解答】

解：，是方程的两根，
，，
．

又，，所以，

因此．

故选：C．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的求值，考查诱导公式与两角和的正切公式应用，是基础题．
利用诱导公式变形，再由两角和的正切即可求解．

【解答】

解：
，
故选D．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查三角形形状的判断，涉及两角和与差的三角函数公式、二倍角正弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．由得，运用两角和与差的三角函数公式及二倍角正弦公式求解．

【解答】

解：，
，
，
，
，
或，
，
，
为直角三角形或等腰三角形．
故选D．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式及两角和与差的三角函数公式，
结合诱导公式及两角和的余弦函数公式求解即可．

【解答】

解： 

．
故选B．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的三角函数公式，属于基础题．
根据，利用两角和的正切公式的变形可得，移项得解．

【解答】

解：
，
．
．
故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了两角差的正切公式，属于基础题．
直接根据两角差的正切公式展开得到关于的方程，求解即可．

【解答】

解：
，解得，
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查两角和与差的三角函数公式，诱导公式的应用及利用基本不等式求最值，属中档题．
利用两角和的正切公式和诱导公式化简得，从而利用基本不等式求最值即可．

【解答】

解：，角A为锐角，
，，
，

，
当且仅当，即时，取等号，
故的最小值为．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数关系式和两角和与差的三角函数公式，属中档题．
利用同角三角函数关系式和角的范围先求出角的正弦与余弦，再用两角和与差的三角函数公式化简即可．

【解答】

解：因为，所以，．

由得

所以
．
故答案为．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两角和的正切公式，属于基础题．
利用以及特殊角的三角函数值进行计算．
【解答】
解：

．
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了任意角的三角函数，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式 和二倍角公式及其应用，属于基础题．
利用诱导公式，再利用正弦的二倍角公式和任意角的三角函数得，再利用同角三角函数的基本关系得和，然后利用两角和的正切算出．
【解答】
解：，，
且，则，
，，
则，
故答案为．  

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的相关知识．
由已知可解出和的值，利用和角公式可解得和，从而可得，再次利用差角公式可解得和，从而得．
【解答】
解：为第二象限角，且，
．
又，
，，
，
．

．

，

，

．
故答案为：；．

19.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．
先求出角的正弦和正切，再利用两角和的正切公式求解即可

【解答】解：锐角满足，，
，，
则，
，，故．
故答案为．  

20.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查正弦定理及两角和的正弦公式的应用．考查学生计算能力，属于基础题．
在中，利用正弦定理计算BD，利用正弦的和角公式计算，再利用诱导公式即可得到的值．
【解答】解：在中，易得，．
在中，由正弦定理得
，

．
又，
所以．
故答案为 ；   

21.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了两角和与差的三角函数公式、二倍角公式的应用，属于基础题．
由，由两角差的正切公式可解得，进而运用二倍角公式可将化简，代入可得结果．

【解答】解：因为，
所以，
解得，
所以
，
故答案为3；．  

22.【答案】解：假设存在锐角，，使，同时成立，
则，
则，
即，
又，
则为方程的两根．
，或，舍去，
，，
即，．
故存在锐角，．
 

【解析】本题考查了正切函数的两角和与差公式，二次方程的韦达定理的灵活应用．属于中档题．
利用假设法，假设使，同时成立，利用正切函数的和与差公式计算，看是否得到锐角，，即可说明．
 

23.【答案】解：
角的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点
，，，
；

由，，，
得，，
又由，
得
，
则

，
或

．
的值为或．
 

【解析】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，考查了两角差的余弦函数公式，是中档题．
由已知条件即可求r，则的值可得；
由已知条件即可求，，，再由，代值计算得答案．
 

24.【答案】解：，且，
则，
，
．
，，
，
．
 

【解析】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系及两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
由题意，可得，从而利用同角三角函数的基本关系求解即可；
利用同角三角函数的基本关系求得，从而根据，利用两角和的正弦公式求解即可．
 

25.【答案】解：原式
 

．

原式

．

【解析】本题考查两角和与差的正弦与余弦公式的应用，考查运算化简的能力，属于基础题．
由两角和与差的正弦与余弦公式展开化简整理可得；
将拆成，利用两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式可得．
 

26.【答案】解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0．
 

【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
由，根据向量的数量积的运用可得的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
在上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出的最大值和最小值．