人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算课时作业

第六章平面向量及其应用

6.2　平面向量的运算

6.2.3　向量的数乘运算

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(多选题)下面四种说法,其中正确的是(　　)

A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb

B.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na

C.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b

D.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n

答案AB

解析由向量数乘的运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.

2.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则 (　　)

A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线

C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线

答案A

解析∵向量=2a+4b,=a+2b,

∴=2,即A,B,D三点共线.

3.已知在△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹经过△ABC的(　　)

A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心

答案D

解析设D为BC中点,则=2,

∴=2λ,即点P在中线AD所在直线上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.

4.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　. 

答案等腰梯形

解析由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.

5.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为　　　　　. 

答案-

解析由向量共线可得a+λb=k(b-3a),

即a+λb=kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b.

∵a,b不共线,∴解得λ=-.

6.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.

(1)用a,b分别表示向量;

(2)求证:B,E,F三点共线.

(1)解∵)=(a+b),

∴(a+b).

∵b,∴=-a+b.

(2)证明由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=,

∴.

∴共线.

又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.

7.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a);

(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.

解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.

∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.

(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.

与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,

∴x=a+b.

∴y=3x-b=3-b=a-b.

关键能力提升练

8.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足=0,若实数λ满足=λ,则λ的值为(　　)

A.2 B. C.3 D.6

答案C

解析-2.

又=0,即=-,

∴=-3=λ=-λ,

∴λ=3.

9.(2020辽宁营口期末)已知D为△ABC所在平面内一点,3,则=(　　)

A.- B.

C. D.

答案A

解析因为D为△ABC所在平面内一点,3,所以)=-.故选A.

10.

(2021福建福州期中)如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且=m+n(m,n∈R),则的最小值是(　　)

A.3 B.3+2

C.4 D.4+2

答案C

解析因为点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),则=λ(0<λ≤1),

则+λ+λ()=+λ-=1-λ+λ,所以m=1-λ,n=λ,

则=[(2-λ)+λ]=2+≥2+2=4,

当且仅当,即λ=1时等号成立.

故的最小值为4.故选C.

11.(多选题)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个选项正确的是(　　)

A.GH=2OG B.=0

C.AH=2OD D.S△ABG=S△BCG=S△ACG

答案ABCD

解析在

△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示.

对于B,根据三角形的重心性质得=0,选项B正确;

对于A,C,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,

∴=2,∴GH=2OG,AH=2OD,选项A,C正确;

对于D,过点G作GE⊥BC,垂足为E,

∴△DEG∽△DNA,则,∴△BGC的面积为S△BGC=×BC×GE=×BC××AN=S△ABC;

同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,选项D正确.

12.在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=　. 

答案

解析由平面向量的加法运算,有.

因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ

=.

所以,

即1--μ=λ+-1.

∵不共线,

∴解得故λ+μ=.

13.已知M是△ABC所在平面内的一点,若满足6-2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是　　　　　. 

答案3

解析记2.

∵+2-2=0,

∴=2,S△ABC=S△ABN.

又S△ABM=S△ABN,

∴S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.

14.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.

(1)用向量a与b表示向量;

(2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由.

解(1)∵=a,=b,点A是BC的中点,

∴=-a.

∴=-a-b.

(2)C,D,E不共线.理由如下,

假设存在实数λ,使=λ.

∵=a+b+(-b)=a+b,

)

=2a+(-a+b)=a+b,

∴a+b=λ,

∴此方程组无解,

∴不存在实数λ,满足=λ.

∴C,D,E三点不共线.

学科素养创新练

15.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示.

解因为=b-a,(b-a),

所以a+b.

因为(a+b),

所以(a+b),

所以(a+b)-b=a-b.