数学25.1 一元二次方程的概念精品第1课时同步练习题

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本课核心问题
怎样判断一个方程是不是一元二次方程？如何把它化成一般形式并读出各项系数？怎样检验一个数是不是这个方程的根？
一、学习目标
1. 理解一元二次方程的概念，能依据“只含一个未知数、含有未知数的式子都是整式、未知数的最高次数是2”判断一个方程是否为一元二次方程
2. 掌握一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0），能正确说出二次项系数、一次项系数和常数项，理解 a≠0 的含义
3. 理解一元二次方程的根（解）的概念，会用代入法检验一个数是否为方程的根
二、重点
• 一元二次方程定义的三个条件（一个未知数、整式、最高次数是2）
• 一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0）与各项系数的读取（含缺项、符号）
三、难点
• 判断是否为一元二次方程要看整理化简后的最高次数，表面含 x² 的方程化简后可能不是二次方程
• 含参数方程中二次项系数 a≠0 的条件讨论
学习支架
三个方程的来源、所列方程与共同特征
无盖方盒问题的矩形铁皮示意图
一元二次方程的一般形式
化一元二次方程一般形式的四步
1. 去括号：用乘法分配律展开
2. 移项：把各项都移到等号左边（移项要变号）
3. 合并同类项
4. 按未知数次数从高到低排列，写成 ax²+bx+c=0（a≠0）
四、知识要点
1. 一元二次方程的定义
概念：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程，叫作一元二次方程。判断一个方程是不是一元二次方程，要抓住三个条件：（1）只含有一个未知数。如 x2+xy−1=0 含有 x、y 两个未知数，不是一元二次方程。（2）含有未知数的式子都是整式。如 1x+x2=3 中含分式 1x，不是整式方程，不是一元二次方程。（3）未知数的最高次数是2。如 x3−2x+1=0 的最高次数是3，不是。核心问题：怎样判断一个方程是不是一元二次方程？最容易忽略的是：判断前要先整理化简。例如 x(x−2)=x2−3x+1，表面含有 x2，但去括号、移项后得 x=1，x2 项抵消了，它其实是一元一次方程。特别提醒：缺项不影响判别。如 5x2−7=0 没有一次项，仍是一元二次方程；2x2=5x 没有常数项，也是一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式与各项系数
一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。为什么规定 a≠0？如果 a=0，二次项 ax2 消失，方程变成 bx+c=0，就成为一元一次方程，不能再叫“一元二次方程”。所以二次项系数不能为0，而一次项系数 b、常数项 c 都可以等于0。读系数要注意三点：（1）先化成一般形式再读系数：把各项移到等号左边、合并同类项、按未知数次数从高到低排列；（2）缺项写0：把 x2=9 化成一般形式 x2−9=0 后，一次项系数是0，常数项是 −9，不能漏掉负号；（3）系数连同符号一起读：3x2−8x−10=0 中，一次项系数是 −8，常数项是 −10。
3. 化一般形式与从实际问题列方程
（一）化一般形式的四步：第一步，去括号，用乘法分配律展开；第二步，移项，把各项都移到等号左边，移项要变号；第三步，合并同类项；第四步，按未知数次数从高到低排列，写成 ax2+bx+c=0（a≠0）的形式。（二）由实际问题列方程：设未知数 → 找等量关系 → 列方程 → 化简成一般形式。教材问题1：长100 cm、宽50 cm的矩形铁皮，四角各切去边长为 x cm 的正方形，折成无盖方盒，盒底面积为3600 cm²。盒底长为 (100−2x) cm，宽为 (50−2x) cm，由“长×宽=底面积”得 (100−2x)(50−2x)=3600。展开：5000−300x+4x²=3600，移项、合并：4x²−300x+1400=0，两边同除以4，得 x2−75x+350=0。（三）观察这些方程的共同点：都含有一个未知数，都是整式方程，化简后未知数的最高次数都是2——这就是“一元二次方程”名称的含义：“一元”指一个未知数，“二次”指最高次数为2。
4. 一元二次方程的根（解）与检验
概念：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解；一元二次方程的解也叫作这个方程的根。检验一个数是不是方程的根，用代入法：把该数代入方程的左边和右边，分别计算；如果左右两边相等，它就是方程的根；如果不相等，就不是。例如检验 −2 是不是 x2−x−6=0 的根：左边=(−2)2−(−2)−6=4+2−6=0，右边=0，两边相等，所以 −2 是方程的根。注意两点：（1）一元二次方程可能有两个不同的根。如 x2−1=0 的两个根是1和−1，验根时要逐个检验，不能只验一个就下结论；（2）“解”与“根”在本章是同一个概念：一元二次方程的解也叫作方程的根。
五、典型例题
【例1】
判断下列方程是否为一元二次方程，并说明理由：（1）x2−4x+3=0；（2）5x2−7=0；（3）x(x−2)=x2−3x+1；（4）x3−2x2+x=0。
【解答】（1）是。只含一个未知数 x，各项都是整式，未知数的最高次数是2。（2）是。虽然缺一次项，但仍是“一个未知数、整式、最高次数2”。（3）不是。去括号，得 x2−2x=x2−3x+1；移项、合并同类项，得 x=1。x2 项相互抵消，它是一元一次方程。（4）不是。未知数的最高次数是3，是一元三次方程。
【点拨】判断要抓住三要素，并且先整理化简再看最高次数；只看表面含有 x2 就下结论是常见错误。
【例2】
将方程 3x(x−1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
【解答】去括号，得 3x2−3x=5x+10。移项（移项要变号），把 5x、10 移到等号左边，得 3x2−3x−5x−10=0。合并同类项，得 3x2−8x−10=0。所以它的一般形式是 3x2−8x−10=0。二次项系数是3，一次项系数是 −8，常数项是 −10。
【点拨】移项要变号：5x 移到左边变成 −5x，10 移到左边变成 −10。读系数时务必连同符号一起读。
【例3】
在 −4、−2、2、4 中，哪些数是方程 x2+2x−8=0 的根？为什么？
【解答】逐个代入检验。x=−4：左边=(−4)2+2×(−4)−8=16−8−8=0，右边=0，两边相等，所以 −4 是方程的根。x=−2：左边=4−4−8=−8≠0，不是方程的根。x=2：左边=4+4−8=0，右边=0，两边相等，所以 2 是方程的根。x=4：左边=16+8−8=16≠0，不是方程的根。所以 −4 和 2 是方程 x2+2x−8=0 的根。
【点拨】验根必须把数代入方程左右两边分别计算再比较；一元二次方程可以有两个根，每个候选数都要单独检验，不能凭感觉跳过。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 方程 x2−3x+2=0 中，二次项系数是（________），一次项系数是（________），常数项是（________）。
2. 把方程 x2=9 化成一元二次方程的一般形式为（________），其中一次项系数是（________），常数项是（________）。
3. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是2的方程，一定是一元二次方程。（ ）
4. 方程 x2−2x+1=0 的常数项是1。（ ）
5. 把方程 3x2−2=5x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
6. 在 −3、−2、−1、0、1、2、3 中，方程 x2−x−6=0 的根是（________）。
7. x=1 是方程 x2−2x+1=0 的根。（ ）
8. 把方程 (x−1)(x+2)=0 化成一般形式为（________），它的二次项系数是（________）。
9. 方程 x2−4=0 的根是（________）。
10. 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0 中，a、b、c 都不能等于0。（ ）
★★ 能力提升
11. 一个矩形的宽比长少3 m，面积是54 m²。设矩形的长为 x m，列出关于 x 的方程，并化成一般形式。
12. 下列方程中，是一元二次方程的是（________）。
A. x−2=3x+1
B. x2+2x=x2−1
C. 2x2−5x=0
D. 1x+x=2
13. 把方程 3x(2x−1)=x+5 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
14. 已知 x=2 是方程 x2+mx−6=0 的一个根。（1）求 m 的值；（2）求出这个方程的另一个根。
15. 一个直角三角形的两条直角边相差1 cm，面积是6 cm²。设较长的直角边长为 x cm，列出关于 x 的方程，并化成一般形式。
直角三角形：较长的直角边为 x cm，另一条直角边为 (x−1) cm
★★★ 拓展延伸
16. 我国古代数学著作中记载：“直田积六百步，阔不及长一十步。”（直田指矩形田地，积指面积；“阔不及长一十步”即宽比长少10步。）设田地的宽为 x 步。（1）列出关于 x 的方程，并化成一般形式；（2）判断宽为20步时，田地面积是否符合题意。
17. 关于 x 的方程 (m−2)x2+mx+1=0：（1）当 m 取何值时，它是一元二次方程？（2）当 m 取何值时，它是一元一次方程？并写出此时的一元一次方程。
18. 写出一个一元二次方程，使它以 1 和 −3 为根，并化成一般形式。（提示：若 a、b 是一个一元二次方程的两个根，则 (x−a)(x−b)=0 是满足条件的一个方程。）
参 考 答 案
第1题：1；−3；2
【解析】按降幂排列依次对应二次项、一次项和常数项，一次项系数要带符号 −3。
第2题：x2−9=0；0；−9
【解析】移项得 x2−9=0，即 x2+0·x−9=0。缺一次项，一次项系数写0；常数项是 −9，不能漏掉负号。
第3题：×
【解析】还缺两个条件：含有未知数的式子必须是整式，且次数2必须是“最高次数”。如 1x+x=2 含分式就不是一元二次方程。[错因:理解]
第4题：√
【解析】一般形式 x2−2x+1=0 中，c=1，常数项是1。
第5题：一般形式：3x2−5x−2=0；二次项系数是3，一次项系数是 −5，常数项是 −2。
【解析】移项（变号）：3x2−2−5x=0；按降幂排列：3x2−5x−2=0。系数连同符号读。
第6题：−2 和 3
【解析】逐个代入：x=−2 时左边=4+2−6=0；x=3 时左边=9−3−6=0；其余数代入均不为0。
第7题：√
【解析】把 x=1 代入：左边=1−2+1=0，右边=0，两边相等，所以 x=1 是方程的根。
第8题：x2+x−2=0；1
【解析】展开：x2+2x−x−2=x2+x−2。二次项系数是1（隐含的1不要漏写）。
第9题：2 和 −2
【解析】移项得 x2=4，由平方根的意义得 x=2 或 x=−2；代入检验两边均相等。
第10题：×
【解析】只规定二次项系数 a≠0；一次项系数 b 和常数项 c 都可以等于0。如 2x2−7=0、x2−5x=0 都是一元二次方程。[错因:理解]
第11题：宽为 (x−3) m，由“长×宽=面积”得 x(x−3)=54。化成一般形式：x2−3x−54=0。
【解析】等量关系是长×宽=面积：长为 x，宽比长少3，即 (x−3)，故 x(x−3)=54；去括号、移项得一般形式。
第12题：C
【解析】A 中未知数最高次数是1；B 化简后 2x=−1，x2 项抵消，是一次方程；C 只含一个未知数、是整式方程、最高次数是2，正确；D 含 1x，不是整式方程。[错因:方法]
第13题：去括号：6x2−3x=x+5。移项、合并同类项：6x2−4x−5=0。二次项系数是6，一次项系数是 −4，常数项是 −5。
【解析】去括号用分配律：3x·2x=6x2，3x·(−1)=−3x；移项时 x、5 移到左边变号，合并得 6x2−4x−5=0。
第14题：（1）把 x=2 代入方程：4+2m−6=0，解得 m=1。（2）当 m=1 时，方程为 x2+x−6=0。检验 x=−3：左边=(−3)2−3−6=0，右边=0，两边相等，所以另一个根是 x=−3。
【解析】利用“根是使方程左右两边相等的值”列出关于 m 的方程求参数，再回代得到完整方程，用代入法找到另一个根。[错因:方法]
第15题：两条直角边分别为 x cm 和 (x−1) cm，由“两条直角边乘积的一半等于面积”得 x(x−1)2=6。化成一般形式：x2−x−12=0。
【解析】直角三角形面积=两直角边之积的一半。去分母：x(x−1)=12，展开移项得 x2−x−12=0。可验证 x=4 时两条直角边为4 cm和3 cm，面积为6 cm²，符合题意。
第16题：（1）长为 (x+10) 步，由“宽×长=面积”得 x(x+10)=600，即 x2+10x−600=0。（2）当 x=20 时，宽20步、长30步，面积=20×30=600（平方步），左右两边相等，符合题意。
【解析】把古文条件翻译成数量关系：宽比长少10步，故长=宽+10；面积等式为宽×长=600。第（2）问用代入检验：20×(20+10)=600 成立，说明20步是方程的解且符合实际。[错因:理解]
第17题：（1）一元二次方程要求二次项系数不为0，即 m−2≠0，所以当 m≠2 时，它是一元二次方程。（2）当 m−2=0，即 m=2 时，二次项消失，方程为 2x+1=0，是一元一次方程。
【解析】抓住“二次项系数 a≠0”这一硬性条件：m≠2 时含 x2 项，是二次方程；m=2 时 x2 项系数为0，退化为一次方程。这里用到分类讨论的思想。[错因:理解]
第18题：(x−1)(x+3)=0，化成一般形式为 x2+2x−3=0。（答案不唯一，凡是能化成以1和−3为根的形式均可）
验证：x=1 时左边=1+2−3=0；x=−3 时左边=9−6−3=0，两边都等于0，符合要求。
【解析】按提示把两个根写成因式乘积，再展开为一般形式；最后用代入法检验两个根，确保方程确实以1和−3为根。方程的来源
所列方程
化简后的一般形式
未知数个数
最高次数
章引言中的方程
x²+5x−25=0
x²+5x−25=0
1
2
问题1：无盖方盒（长100 cm、宽50 cm铁皮）
(100−2x)(50−2x)=3600
x²−75x+350=0
1
2
问题2：排球邀请赛（单循环，共28场）
x(x−1)2=28
x²−x−56=0
1
2