人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品第2课时精练

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品第2课时精练，文件包含北师大版九年级数学上册第4单元单元测试卷原卷docx、北师大版九年级数学上册第四章单元测试卷原卷docx、北师大版九年级数学上册第4单元单元测试卷解析卷docx、北师大版九年级数学上册第四章单元测试卷解析卷docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
不解方程，我们能知道方程两个根的和与积吗？
一、学习目标
1. 能由求根公式观察两根的 m±n 结构，推导出一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca
2. 会用根与系数的关系，不解方程求出两根的和与积
3. 能用分解因式、比较系数的方法再次说明根与系数的关系
二、重点
• 根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca
• 应用前先把方程化为一般形式，再正确读出 a、b、c
三、难点
• 推导与使用中的符号处理：和的公式带负号、积的公式不带；a≠0 且 Δ≥0 才可谈两根
学习支架
求根公式
一元二次方程的根与系数的关系
例2（教材例5）根与系数的关系应用对照表
四、知识要点
1. 从求根公式看两根的结构（观察与启发）
【核心问题】不解方程，我们能知道方程两个根的和与积吗？由公式法可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为
x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a。观察发现：两个根分别可以看作“同一个数加上一个根号项”与“同一个数减去同一个根号项”，即教材所说的“m+n”与“m−n”的形式。两个这样的式子相加，根号项一正一负相互抵消；两个这样的式子相乘，可以利用平方差公式 (m+n)(m−n)=m2−n2 去掉根号。这就启发我们：两根的和与积都能用系数 a、b、c 简洁地表示，根与系数之间存在着稳定的数量关系。
2. 根与系数的关系：两根之和与两根之积
设 x1、x2 是方程 ax2+bx+c=0（a≠0，Δ≥0）的两个根，由求根公式：（1）两根之和：x1+x2=−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a=−2b2a=−ba；（2）两根之积：x1x2=(−b+b2−4ac)(−b−b2−4ac)4a2=b2−(b2−4ac)4a2=4ac4a2=ca。关键结论：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为 x1、x2，那么
x1+x2=−ba，x1x2=ca。这就是一元二次方程的根与系数的关系（教材 25.2.4）。
3. 用因式分解再次说明根与系数的关系
还可以换一种方法得到同一个关系：如果 x1、x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根，那么方程的左边一定可以分解因式为
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)。把右边展开：a(x−x1)(x−x2)=a[x2−(x1+x2)x+x1x2]=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2。等号两边都是关于 x 的二次多项式，比较对应项的系数：一次项系数：−a(x1+x2)=b，得 x1+x2=−ba；常数项：ax1x2=c，得 x1x2=ca。两种方法得到完全一致的结论，可以互相印证。教材还提示：随着后续学习一元 n 次方程的根与系数的关系时，这种“分解因式、比较系数”的表示更具一般性。
4. 应用：不解方程求两根的和与积
利用根与系数的关系求两根的和与积，步骤概括为三步：第一步：把方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）——移项、合并同类项，使右边为 0；第二步：读出二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c（连同符号，负号不能丢）；第三步：代入 x1+x2=−ba、x1x2=ca 并化简。例如求 5x−1=4x2 的两根和与积：先化为 4x2−5x+1=0，得 a=4、b=−5、c=1，于是两根之和为 54，两根之积为 14。
5. 使用条件与易错辨析
使用根与系数的关系时要留心四点：（1）方程必须先化为一般形式再读系数。5x−1=4x2 若不整理，容易把一次项系数误读为 −1 或 0。（2）公式中的负号：x1+x2=−ba 带负号，x1x2=ca 不带负号，两者容易混淆。（3）交换 x1、x2 的位置，不影响它们的和与积的值——“两根的和”“两根的积”不依赖哪一根叫 x1。（4）关系式只在方程有实数根（Δ≥0）时才有意义；若 Δ