冀教版（2024）九年级上册（2024）第二十四章 一元二次方程24.4 一元二次方程的应用优秀第4课时随堂练习题

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本课核心问题
怎样把一个实际问题中的数量关系“翻译”成一元二次方程，并在解方程之后依据题意检验、取舍方程的根？
一、学习目标
1. 能分析增长率（下降率）、面积、销售等实际问题中的数量关系，正确建立一元二次方程
2. 能选择合适的方法解方程，并依据题设条件（墙长、最低限价、非负性、正整数等）检验、取舍方程的根
3. 掌握“审题—设元—列式—求解—检验—作答”的完整建模流程
二、重点
• 找等量关系，把实际问题翻译成一元二次方程
• 解方程后按实际意义检验取舍
三、难点
• 增长率模型的建立：区分“每期增长率”与“两期共增长”
• 方程两个根结合题设条件的检验与取舍
学习支架
列一元二次方程解应用题的一般步骤
1. 审题，找出已知量、未知量和等量关系
2. 设未知数，把其他量用含未知数的式子表示
3. 根据等量关系列出一元二次方程
4. 选择合适的方法解方程
5. 检验方程的根是否符合题意，写出答案
围场县城空气优良天数两年增长过程
例2 靠墙长方形游乐场示意图（非按比例）
例3 路灯销售的三种情形（数量—单价—总价）
两期同率增减模型
四、知识要点
1. 增长率（下降率）问题
增长率问题描述一个量连续两个时期（如两年、两个月）按相同比率增减的情形。设初始量为a，每期平均增长率为x，则第一期后为a(1+x)，第二期后为a(1+x)²；若第二期后的量为b，则有 a(1+x)²=b。若两期的增长率分别为r、s（可以不同），则有 a(1+r)(1+s)=b；当增长率为负数时，表示下降（负增长）。关键结论：①“每期”的增长率不是“两期共增长”——两年各增长x%应乘两次(1+x%)，而“两年共增长2x%”是错误写法；②解方程时开平方要取正根，且增长率、下降率必须符合实际范围（增长率非负，下降率050杯），即11元。[错因:计算]
第13题：10（边形）。设这个多边形的边数为n，则n(n−3)2=35，整理得n²-3n-70=0，解得n₁=10，n₂=-7（舍去），所以这个多边形是十边形。
【解析】n边形共有n(n−3)2条对角线，由n(n−3)2=35，得n²-3n-70=0，(n-10)(n+7)=0，n₁=10，n₂=-7（边数不能为负，舍去）。检验：10×72=35。[错因:方法]
第14题：25（本）。设小华买了x本（x>20），则单价为[50-2(x-20)]元，依题意x[50-2(x-20)]=1000，即x(90-2x)=1000，整理得x²-45x+500=0，解得x₁=20，x₂=25；x=20与“超过20本”矛盾，舍去。x=25时单价为50-2×5=40（元）≥25元，符合最低限价。所以小华买了25本。
【解析】超过20本后单价随数量下降：单价=50-2(x-20)=90-2x，且单价不能低于25元。等量关系：单价×数量=1000，即x(90-2x)=1000，整理得x²-45x+500=0，解得x₁=20，x₂=25。x=20不满足x>20，舍去；x=25时单价40元≥25元，符合题意。检验：25×40=1000。[错因:方法]
第15题：10和12。设一组邻边的长分别为x和22-x，则面积x(22-x)·sin60°=x(22-x)·(32)=603，得x(22-x)=120，整理得x²-22x+120=0，解得x₁=10，x₂=12，所以一组邻边的长分别为10和12。
【解析】周长44，一组邻边之和为22。平行四边形面积=两邻边之积×sin(夹角)=x(22-x)·(32)=603，约去3得x(22-x)=120，即x²-22x+120=0，解得x₁=10，x₂=12。检验：10×12×(32)=603，周长2×(10+12)=44。思想方法：方程思想与转化（把面积条件转化为邻边之积）。[错因:知识]
第16题：不能。设矩形的一边长为x m，则另一边为(12-x) m，面积S=x(12-x)=-x²+12x=36-(x-6)²≤36，所以面积最大为36 m²（当x=6，即围成边长为6 m的正方形时），不可能大于36 m²。
【解析】绳长24 m是矩形周长，半周长为12 m。面积S=x(12-x)=-x²+12x，配方得S=-(x-6)²+36≤36，最大值为36 m²，不能超过。这说明在周长固定时，正方形的面积最大。思想方法：配方法（极端化思想），把求最值问题转化为完全平方式的非负性。[错因:方法]
第17题：（1）日销售利润=(30+x-20)(60-x)=(10+x)(60-x)=-x²+50x+600（元）。（2）售价应定为50元或60元：由(10+x)(60-x)=1200，整理得x²-50x+600=0，解得x₁=20，x₂=30，售价为50元或60元。（3）x=20时日销量60-20=40件，x=30时日销量60-30=30件，日销量较大应取x=20，即定价50元。
【解析】（1）涨价x元后，售价(30+x)元，日销量(60-x)件，单件利润(30+x-20)=(10+x)元，日利润=(10+x)(60-x)=-x²+50x+600（元）。（2）令利润为1200：-x²+50x+600=1200，即x²-50x+600=0，(x-20)(x-30)=0，x₁=20，x₂=30，对应售价50元或60元。（3）销量分别为40件、30件，尽快售完取定价50元。思想方法：方程思想与函数思想（把利润看作售价的二次式，再解方程求值）。[错因:计算]年份
2018年
2019年
2020年
空气优良天数（天）
321
321(1+x)
321(1+x)²
购买数量（个）
单价（元/个）
总价（元）
判断
80（以内）
400
32000
按标价收费
120
320
38400
单价≥300，符合
160
240
38400
单价