人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念教案

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念教案，共3页。教案主要包含了方法总结，针对训练，课堂小结，知识网络等内容，欢迎下载使用。
课题
25.1 一元二次方程的概念
授课人
教学目标
1. 数学抽象
从实际问题中抽象出一元二次方程
理解一元二次方程、二次项、一次项、常数项等概念
掌握一元二次方程的一般形式
2. 逻辑推理
通过观察、比较、归纳三个方程的共同特征，概括一元二次方程的定义 能根据定义判断一个方程是否为一元二次方程
理解 a≠0 的必要性
3. 数学建模
能根据实际问题的数量关系建立一元二次方程模型
体会方程思想在解决实际问题中的价值
4. 数学运算
能将一个一元二次方程化为一般形式
能准确指出一般形式中各项的系数
会用代入法检验一个数是否为一元二次方程的根
教学重点
掌握一元二次方程的概念、一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及一元二次方程的根等概念，并能用这些概念解决简单问题.
教学难点
把实际问题转化为一元二次方程模型.
授课类型
新授课
课时
1
教学步骤
师生活动
设计意图
情境导入
同学们，至今为止我们学习了哪些方程？它们都有什么特点？能举例说明吗？
类似于3x2＋2x－1＝0的方程我们学习过吗？这类方程有什么特点？属于什么方程呢？它们存在于我们的实际生活中吗？下面请大家随我一起探索新知，揭开它的神秘面纱吧！
通过创设情境，引导学生复习一元一次方程等概念和举例为后面学习一元
二次方程的有关内容做好铺垫
探究新知
1.一元二次方程的定义
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：等量关系为__底面的长×宽＝底面积__．设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)__cm，宽为__(50－2x)__cm.根据方盒的底面积为3600 cm2，得方程__(100－2x)(50－2x)＝3600__．整理，得__4x2－300x＋1400＝0__．
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
师生活动：教师引导学生先自主探究、分析，再在小组内合作讨论，设出合适的未知数，根据等量关系列出方程．
分析：设邀请x个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共eq \f(1,2)x(x－1)场，于是得到方程eq \f(1,2)x(x－1)＝28，整理，得eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x－28＝0.
师生活动：观察上面所列的两个方程，分析以上两个方程与一元一次方程有什么区别与联系．学生观察、思考、讨论、交流、汇报．
教师重点引导学生观察得到所列方程的特点：①整式方程；②一元；③二次．
归纳：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.
注意：三个关键点：一是整式方程；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式
思考：类比一元一次方程的一般形式，你能写出一元二次方程的一般形式，并说出各项的名称吗？
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
思考：为什么二次项系数a≠0？
a=0时，此方程就没有二次项，就成了一元一次方程了.
思考：除了一般形式，还有哪些是一元二次方程？
特殊形式：；；
注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号；二次项系数 a≠0 是一个重要条件，不能漏掉.
师生活动：指出下列各方程的二次项、一次项和常数项.①3x2＋2x－1＝0；②2x2＝3；③eq \f(x－3x2,2)＝0.
探究点3 一元二次方程的根
思考：类比一元一次方程的解的定义，你能给一元二次方程的根下定义吗？
一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
下列哪些数是方程x2－x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，归纳出一元二次方程与一元一次方程的联系。巩固一元二次方程的概念，让学生在实践中感悟，提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。
此环节让学生通过自主探究，类比一元一次方程一般形式，得出一元二次方程一般形式和项，系数的概念，从而达到真正理解并掌握的目的。
此环节让学生在实际问题出发的基础上理解一元二次方程的根的概念，达到真正理解并掌握的目的。
典例精析
【例1】判断下列关于x的方程是不是一元二次方程．
（1）3x2＋7＝0；
（2）2x2−3y＋1＝0；
（3）3x2−4x＋6＝0；
（4）ax2−bx＋c＝0．
【解】（1）符合一元二次方程的概念，是一元二次方程．
（2）含有两个未知数，不是一元，故不是一元二次方程．
（3）不是整式方程，故不是一元二次方程．．
（4）a的取值不确定，若a＝0，则不是一元二次方程．
【方法总结】一个方程是一元二次方程必须同时满足三个条件：(1)整式方程.(2)只含有一个未知数.(3)未知数的最高次数是2.
【例2】若方程(m＋2)x|m|−3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．m≠±2 B．m＝2 C．m＝−2 D．m＝±2
【解析】根据一元二次方程的概念，可得
m=2m+2≠0,
解得m＝2.
答案：B.
【方法总结】确定一元二次方程待定字母的值(或取值范围)的步骤
(1)列：根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数等于2,二次项系数不为零，列出关于某个字母的方程或不等式组；
(2)解：解方程或不等式组；
(3)定：确定字母的值(或取值范围).
【例3】(教材p3例)将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解】去括号，得
．
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
．
其中二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．
【方法总结】化一元二次方程为一般形式的步骤
第1步：去分母；
第2步：去括号；
第3步：移项；
第4步：合并同类项.
【例4】下列哪些数是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根？
－1，0，1，3．
【解】把-1代入到式子x2－4x＋3中，得(-1)2-4×(-1)+3=8≠0，所以-1不是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根；
把0代入到式子x2－4x＋3中，得02-4×0+3=3≠0，所以0不是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根；
把1代入到式子x2－4x＋3中，得12-4×1+3=0，所以1是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根；
把3代入到式子x2－4x＋3中，得32-4×3+3=0，所以3是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根.
【方法总结】1.判断一个数是不是一元二次方程的根的方法
(1)代：将已知数值代入一元二次方程.
(2)看：看方程左右两边是否相等.若左右两边相等，则这个数值是一元二次方程的根；若不相等，则这个数值不是一元二次方程的根.
2.已知方程的一个根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值.
【针对训练】已知a是方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式a2-3a+6的值是 ．
【解】由条件可得a2-3a-1=0，即a2-3a=1，
∴代数式a2-3a+6=1+6=7．
答案：7．
【例5】有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A.x(x+1)=45 B.x(x-1)=45
C.x(x-1)=45 D.x(x+1)=45
【解】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x-1），
∴共比赛了45场，
∴x（x-1）=45，
答案：B．
【方法总结】根据实际问题列一元二次方程的一般步骤
（1）审：阅读题干，弄清问题中已知量是什么,未知量是什么.
（2）找：找出题中包含已知量和未知量的等量关系.
（3）列：设未知数，根据等量关系，列出一元二次方程.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。
随堂检测
1．一元二次方程3x2＝5x的二次项系数和一次项系数是（ ）
A．3，5 B．3，0
C．3，－5 D．5，0
答案：C.
2．下列哪些数是方程x2＋x－12＝0的根？
－4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4．
答：－4， 3是方程的根．
3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）3x2＋1＝6x； （2）4x2＝81－5x；
解：（1）一般形式：3x2－6x＋1＝0．
二次项系数：3．
一次项系数：－6．
常数项：1．
（2）一般形式：4x2＋5x－81＝0．
二次项系数：4．
一次项系数：5．
常数项：－81．
4． 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
（1）有一根1 m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06 m2的长方形？
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加这次聚会？
解：（1）设长方形的长为x m，则宽为(0.5－x)m．
根据题意，得x(0.5－x)＝0.06，
整理，得50x2－25x＋3＝0．
（2）设有x人参加了这次聚会，
根据题意，得12x(x－1)＝10，
整理，得x2－x－20＝0．
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.
课堂小结
【课堂小结】
引导学生从下面三方面进行小结，从方法上学到了什么方法?从知识内容上学到了什么内容?分清楚概念的区别和联系?
1.将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法.
2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项，归纳所学过的整式方程.
3.一元二次方程的意义与一般形式 ax²+bx+c=0(a≠0)的区别和联系.强调“a≠0”这个条件有长远的重要意义.
【知识网络】
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳一元二次方程的定义、一般形式和解．
巩固所学知识，加深对一元二次方程相关概念的理解.
作业布置
《课时训练》P1-P2训练题
板书设计
一元二次方程的概念
1.一元二次方程概念
2.一元二次方程的一般形式
3.一元二次方程的解(根)
教学反思